В.И.Арнольд

О печальной судьбе "академических" учебников

Опыт создания учебников для средней школы учеными-математиками двадцатого века я считаю трагическим. Мой дорогой учитель, Андрей Николаевич Колмогоров, долго убеждал меня в необходимости дать наконец школьникам "настоящий" учебник геометрии, критикуя все существовавшие за то, что в них такие понятия, как "угол величиной в 721 градус", остаются без точного определения.

Предназначенное им для десятилетних школьников определение угла занимало, кажется, около двадцати страниц, и я запомнил только упрощенную версию: определение полуплоскости.

Оно начиналось с "эквивалентности" точек дополнения к прямой на плоскости (две точки эквивалентны, если соединяющий их отрезок прямую не пересекает). Затем — строгое доказательство того, что это отношение удовлетворяет аксиомам отношений эквивалентности; А эквивалентно А и так далее.

Ссылка на теорему (кажется, восемьдесят третью) из предыдущего курса доказывала затем, что дополнение разбивается на классы эквивалентности.

Еще несколько теорем устанавливали последовательно, что "множество классов эквивалентности, определенное предыдущей теоремой, является конечным", а затем что "мощность конечного множества, определенного предыдущей теоремой, равна двум".

И в конце концов, торжественно-вздорное "определение": "Каждый из двух элементов конечного множества, мощность которого по предыдущей теореме равна двум, называется полуплоскостью".

Ненависть учившихся по такой "геометрии" школьников и к геометрии, и к математике вообще легко было предугадать, что я и пытался объяснить Колмогорову. Но он ответил ссылкой на авторитет Бурбаки: в книге их "История математики" (в изданном под редакцией Колмогорова русском переводе "Архитектуры математики") сказано, что "как и все великие математики, по словам Дирихле, всегда стремимся заменять прозрачные идеи слепыми вычислениями".

Во французском тексте, как и в оригинальном немецком утверждении Дирихле, стояло, конечно, "заменять слепые вычисления прозрачными идеями". Но Колмогоров, по его словам, счел внесенный русским переводчиком вариант гораздо точнее выражающим дух Бурбаки, чем их собственный наивный текст, восходящий к Дирихле.

Все же Андрей Николаевич заставил или уговорил и меня принять участие в своих экспериментах, так что я прочитал в начале шестидесятых годов курс лекций для школьников (старших классов).

Начиная с геометрии комплексных чисел и формулы Моавра, я быстро перешел к алгебраическим кривым и римановым поверхностям, фундаментальной группе и накрытиям, монодромии и правильным многогранникам (включая точные последовательности, нормальные делители, группы преобразований и разрешимые группы). Неразрешимость группы симметрий икосаэдра легко выводится из рассмотрения пяти вписанных в него кубов Кеплера. Из этой элементарной геометрии я получил к концу семестра доказательство теоремы Абеля о неразрешимости в радикалах уравнений пятой и более высоких степеней.

Мои представления о по-настоящему современном школьном учебнике можно понять из текста этого школьного курса, опубликованного впоследствии одним из моих тогдашних школьников, В.Б. Алексеевым, в виде книжки "Теорема Абеля в задачах" (М., Наука, 1976), а также в моей недавно изданной МЦНМО лекции для школьников "Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов".

Большая часть обеих книг предназначена для рядового школьника и растолковывает ему настоящую математику (хотя кое-что может оказаться неизвестным и большинству профессоров математики в университетах).

Я упомянул бы здесь, что продолжение этой теории Абеля (которому в будущем году исполнится 200 лет) включает замечательные теоремы о непредставимости элементарными функциями — интегралов (например, от квадратного корня из многочленов третьей степени).

Абель ввел в эту теорию топологию (широко используя для исследования своих — абелевых — интегралов от алгебраических функций римановы поверхности). Он установил неэлементарность интегралов в случае, когда риманова поверхность — не сфера, а имеет "ручки" (как тор, соответствующий "эллиптическим интегралам" от корней из многочленов степени три). Я предполагаю, что его соображения приводят даже к "топологической неэлементарности" интегралов, означающей, что ни выражающая интеграл функция от верхнего предела (так называемый эллиптический, или абелев, интеграл), ни обратная ей функция (так называемая "эллиптическая функция", вроде эллиптического синуса, описывающего не слишком малые колебания маятника без трения или свободное вращение спутника вокруг его центра тяжести) — все эти функции не только неэлементарны, но топологически неэквивалентны никаким элементарным функциям.

Но, к сожалению, математики последующих лет слабо понимали топологическую природу рассуждений Абеля (и не включали его теории в школьные курсы).

Например, мракобес Харди (бывший, впрочем, иностранным членом Российской академии наук) написал в своей недавно вышедшей по-русски в Ижевске книге "Апология математика": "Без Абеля, Римана и Пуанкаре математика ничего не потеряла бы".

В результате доказательства сформулированных выше двух утверждений (о топологической неэлементарности эллиптических, или абелевых, интегралов и функций) остаются, по-видимому, неопубликованными, а топологические теории Абеля, Римана и Пуанкаре, одинаково преобразовавшие и математику, и физику, включая основанную на этих теориях прежде всего квантовую теорию поля, — эти топологические науки напрасно остаются совершенно вне поля зрения современных школьников, которым вместо этого забивают голову либо определениями полуплоскостей, либо специфическими особенностями компьютеров разных фирм.

Наилучшим, на мой взгляд, из имеющихся учебников математики является "Высшая математика для начинающих физиков" Я.Б. Зельдовича. Хотя он и обращается, на вид, к начинающим студентам, именно так, на мой взгляд, следует говорить и со школьниками.

А то в одном из наших лучших учебников, написанных крупнейшим математиком для школьников ("Функции и графики" И.М.Гельфанда, Э.И.Шноля и Е.Г.Глаголевой), я прочел, что «значение функции f(x) в точке а обозначается через f(a)». После такого представления, будто f(x) — это функция, a f(a) — число, как прикажете воспринимать f(y) и f(b)? Обучить после такого начала, что такое операторы или функторы, столь же невозможно, как затруднительно было положение цирюльника после приказа генерала, чтобы он "брил всех тех, кто не бреется сам".

Различие между разными этажами математических объектов: элементы, множества, подмножества, отображения и так далее до функторов и даже дальше — совершенно необходимая часть элементарной математической культуры, подобная различиям между ценой и счетом или "узи" и киллером.

В свое время учебники математики Киселева завоевали Россию своими неоспоримыми достоинствами, хотя он совсем не был великим ученым. Более того, первый десяток изданий этих учебников был еще далек от того уровня, который был достигнут впоследствии вследствие многократных переделок, вызванных замечаниями практически применявших эти учебники учителей. Потому я думаю, что и в наших сегодняшних или даже завтрашних условиях лучший учебник напишет не крупнейший ученый и совсем не я, а опытнейший учитель, да и то не сразу, а после длительной обкатки во многих школах своими столь же опытными коллегами.

Я хотел бы только предостеречь от некритического заимствования иностранного опыта, особенно американского (где отменили простые дроби, ограничиваясь десятичными компьютерными) и французского (где вообще перестали учить считать, опять ссылаясь на калькуляторы, а чертежи изгнали по совету Декарта).

Недавно я столкнулся с большой радостью парижских педагогов-математиков при избрании их представительницы в секцию математического обучения школьников международного математического Союза. Они объяснили мне, что "вытолкнули ее вверх", чтобы она не мешала коллегам в Париже своими идеями "внедрения компьютерной дидактики в обучение школьников основам математического анализа".

Эта "дидактика" заключается в том, чтобы традиционные упражнения вроде «нарисуйте графики функций sin²(x) и sin(x)²» заменить зубрежкой правил нажатия на кнопки компьютера и обращения к системам "Математика" (и подобным ей) стандартного компьютерного обучения.

С другой стороны, мои ученики в Париже объяснили мне, что их военная подготовка включала обучение чтению, письму и счету солдат-новобранцев, из которых сейчас около двадцати процентов совершенно неграмотных (и могут послать ракеты по письменному приказу, который не смогли понять, не в ту сторону!).

Именно к такому состоянию привела бы и нашу систему школьного образования попытка перенести к нам "современные" методы обучения из "передовых" стран. Да минет нас чаша сия!

Опубликовано в журнале «Школьное обозрение», N5, 2002 г.