В.И.Арнольд

Размышления о тенденциях в современном математическом образовании

— Попробуем разобраться с тем, что происходит сегодня в образовании. Мне кажется, это главная тема, которая должна нас беспокоить.

— Согласен.

— С математическим образованием в мире дела обстоят очень плохо. В России, кстати, получше, но все равно плохо!.. Начну с высказывания, прозвучавшего на одном из заседаний в Париже, где выступал министр науки, образования и технологий Франции. То, что он говорил, относится к его стране, но столь же актуально для США, Англии и России. Просто во Франции катастрофа наступила чуть раньше, в других странах — она еще впереди. Школьное образование начало гибнуть в результате тех реформ, которые интенсивно проводятся во второй половине ХХ века. И особенно печально то, что некоторые выдающиеся математики, к примеру уважаемый мной академик Колмогоров, имеют к ним отношение... Француз-ский министр отметил, что математика постепенно вытесняется из школьного образования. Аналогичный процесс наблюдается и у нас, где математику нередко заменяют более “важными” науками.

— Мы отвлеклись от министра...

— Я понимаю, что это неприятно слышать, но тем не менее... Министр из Франции, о котором идет речь, — не математик, а геофизик — рассказал о своем эксперименте. Он спросил школьника: “Сколько будет два плюс три?”. И этот школьник — умный мальчик, отличник — не смог сосчитать... У него был компьютер, преподаватель в школе научил им пользоваться, но сложить в уме два и три школьник не умел. Правда, это был способный мальчик, и ответил он так: “Два плюс три будет столько же, сколько три плюс два, потому что сложение коммутативно...” Министр был потрясен его ответом и предложил убрать из всех школ преподавателей-математиков, которые так учат детей.

Из лекции в Ватикане

Особенно опасна тенденция изгнания всех доказательств из школьного обучения. Роль доказательств в математике подобна роли орфографии и даже каллиграфии в поэзии. Тот, кто в школе не научился искусству доказательства, не способен отличить правильное рассуждение от неправиль ного. Такими людьми легко манипулировать безответственным политикам. Результатом могут стать массовый психоз и социальные потрясения.

Лев Толстой писал, что сила правительства основана на невежестве народа, что правительство знает об этом и потому будет всегда бороться против просвещения.

— И в чем вы видите основную причину случившегося?

— Процветает пустая болтовня, и она заменяет подлинную науку. Я могу продемонстрировать это еще одним примером. Несколько лет назад в Америке шли так называемые “калифорнийские войны”. Штат Калифорния вдруг заявил, что выпускники школ недостаточно подготовлены, чтобы учиться в университете. Молодые люди, приезжающие в Америку, к примеру, из Китая, оказывается, подготовлены гораздо лучше американских школьников. Причем не только в математике, но и в физике, химии, в других науках. Американцы превосходят своих зарубежных коллег во всевозможных “сопутствующих” предметах — тех, которые я называю “кулинариями” и “вязаниями”, а в “настоящих” науках сильно отстают. Таким образом, при поступлении в университет американцы не выдерживают конкуренции с китайцами, корейцами, японцами.

— Понятно, что такое наблюдение вызвало шок в американском обществе, так как там не принято отводить соотечественникам “вторые места”?!

— Американцы тут же создали общенациональную комиссию по образованию, чтобы определить круг проблем, вопросов и задач, которые старшеклассник должен уметь решать при поступлении в университет. Комитет по математике возглавил нобелевский лауреат Гленн Сиборг. Он составил требования к выпускнику школы. Главное из них — умение сто одиннадцать разделить на три!

— Вы шутите?

— Отнюдь! К семнадцати годам школьник должен эту арифметическую операцию производить без компьютера. Оказывается, сейчас они этого делать не умеют... Более того, 80 процентов современных учителей математики в Америке понятия не имеют о дробях, не могут сложить половину с третью. А среди учеников таких — 95 процентов!

— Звучит анекдотично!

— Я надеюсь, что у наших школьников еще сохраняется какое-то представление о дробях и они могут подсчитать сумму половины с одной третью... Теперь о физике. Я сам читал требования к американской Федеральной программе обучения. Там, в частности, говорится, что школьник должен знать о двух фазовых состояниях воды, которая в холодильнике превращается в лед. Гленн Сиборг потребовал, чтобы в программу ввели три фазовых состояния — еще и водяной пар. Однако конгресс и сенаторы запротестовали, прошли бурные дебаты, и штат Калифорния был осужден и осмеян за то, что посмел усомниться в качестве образования американцев. Один из сенаторов (фамилию его я забыл) в своем выступлении сказал, что набрал 41,3 процента голосов избирателей, это свидетельствует о доверии к нему народа, а потому он всегда будет бороться в образовании только за то, что он сам понимает. Если чего-то он не понимает, то и учить такому не следует... Аналогичными были и другие выступления. Причем инициативе Калифорнии старались придать и “расовую” и “политическую” окраску. Битва продолжалась два года. Победил все-таки штат Калифорния, так как его очень дотошный адвокат нашел в истории США прецедент, при котором закон штата становился в случае конфликта выше федерального закона. То есть образование в США временно победило...

— Значит, теперь там научатся делить сто одиннадцать на три?

— Ирония ваша понятна, но она не имеет значения... Я попытался докопаться до сути проблемы и выяснить, почему в Америке могло случиться подобное? И оказывается, источником является Томас Джефферсон.

— Второй президент США?

— Он, голубчик! Отец-основатель Америки, творец конституции, идеолог независимости. В его письмах из Вирджинии есть такой пассаж: “Я точно знаю, что ни один негр никогда не сможет понять Евклида и разобраться в его геометрии”. Из-за этого американцы вынуждены отвергать Евклида, математику и геометрию, которые заменяются знанием того, на какую кнопку надо нажимать... Вместо размышлений — механическое действие, что выдается за борьбу с расизмом!

— Это слишком болезненная проблема для Америки, и то, что они “перестраховываются”, понять можно... А может быть, им проще купить тех, кто знает дроби, чем самим этому учиться?!

— Они и покупают! Американские ученые — в основном эмигранты из Европы, а аспиранты сегодня — это китайцы и японцы.

— Но тем не менее успехи американской науки вы не можете отрицать?

— Я не делаю сейчас обзор о состоянии науки в США или американского “образа жизни”. Я говорю о состоянии преподавания математики в школах США, и здесь ситуация плачевная. Я обсуждал эту проблему с выдающимися математиками Америки, многие из них — мои друзья, достижениями их я горжусь, но тем не менее я задавал им такой вопрос: “Как вам удалось при столь низком школьном образовании достичь столь высокого уровня в науке?”. И один из них мне ответил так: “Дело в том, что я рано научился “двойному мышлению”, то есть у меня было одно понимание предмета для себя, а другое — для начальства в школе. Мой учитель требовал, чтобы я ему отвечал, что дважды три — восемь, но сам-то я знал, что это шесть... Я твердо знал, что надо отвечать на уроках и что есть на самом деле... Я много занимался в библиотеках, благо, есть прекрасные книги”.

— Неплохо, когда школьное образование подталкивает к книге!

— Приведу еще один пример, который показывает всю подноготную американского образования. Хаксли Уиттли, один из великих ученых США, рассказал мне историю о том, как он стал математиком. Мы с ним встречались в Принстоне незадолго до его смерти. История такова. Уиттли учился в Иельском университете... играть на скрипке! После второго курса его послали в Европу, чтобы он смог усовершенствовать свое мастерство. Кажется, он попал в Вену, где ему сказали, что кроме основного предмета в конце года нужно сдать еще один — “чужой”, мол, такое уж у нас правило. Уиттли спросил у своих товарищей, какая сейчас самая модная наука, и ему ответили, что это квантовая механика. Он пришел на лекцию, но ни слова не понял. По ее окончании Уиттли подошел к профессору и сказал ему, что с его лекцией не все в порядке, так как он — лучший студент Иеля — ничего не понял. Профессор (а это был сам Вольфганг Паули — швейцарский физик, один из создателей квантовой механики и релятивист -ской квантовой теории поля) ответил, что Уиттли, наверное, прекрасный скрипач, но математический анализ и линейную алгебру знает слабовато и рекомендовал ему два учебника. Через две недели Уиттли уже начал разбираться в лекциях профессора, а в конце семестра понял, что квантовая механика гораздо лучше скрипки, и стал математиком.

Из лекции в Ватикане

Недавно возник новый вид работорговли. Мои друзья — биологи, химики, физики — рассказывали мне, что американские и европейские университеты приглашают российских исследователей, платят им гроши (превосходящие, однако, российские профессорские зарплаты). Эти русские трудятся изо всех сил, но публикации подписывают не они, а сотрудники приглашающей лаборатории. Технология присвоения результатов работ российских математиков иная, но итог такой же: эти результаты по большей части приписываются западным эпигонам.

Нынешняя позорная дискриминация российских (а равно индийских, китайских и т. д.) ученых западным научным сообществом наносит мировой науке очевидный ущерб. До падения коммунизма нас не пускали за границу коммунисты. Теперь дверь закрыта с другой стороны системой бесполезных виз, без которых обходились в ХIХ столетии и которых не требуют от американцев и других “истинно белых”.

— Как вы стали математиком?

— Учился в Москве, в нормальной школе на Арбате. Из нее вышло несколько известных людей. Один выпускник стал ректором МАИ, потом послом во Франции. В нашем классе — два академика...

— И это — “нормальная” школа?!

— Ничего особенного в ней не было — таких школ миллион!.. Поступил на мехмат МГУ. Впрочем, интерес к математике появился рано. Помню на уроке учитель дал задачку, я над ней долго думал и решил только на следующий день. Причем смог это сделать лишь я один. Это было в пятом классе. Задача, казалось бы, очень простая. Из города А в город Б и из города Б в город А на рассвете одновременно вышли две старушки. В 12 часов они встретились. Потом продолжили свой путь. Одна пришла в конечный пункт в 4 часа дня, а другая — в 9 вечера. Вопрос: в каком часу рассвело в этот день?.. Прекрасная задача, замечательная! На меня она произвела сильнейшее впечатление. Позже я делал разные математические открытия, но удовольствие получал точно такое же, как тогда в пятом классе, когда я нашел решение задачки со старушками...

— Характер творчества не меняется?

— Открытие есть открытие!

— А решение задачки не подскажете?

— Есть такая идея, которая принадлежит Леонардо да Винчи. В его Атлантическом кодексе есть тексты, относящиеся к тому, что теперь называются “теорией турбулентности”. Там у него есть соображения подобия. Он, например, рассматривает вопрос: почему кит больше слона? И дает сравнения... В общем, надо читать Леонардо, чтобы понять суть проблемы... Из его соображений легко увидеть, что отрезки пути, которые прошли старушки до встречи, пропорциональны их скоростям. А после встречи — обратно пропорциональны, потому что той старушке, которая идет медленней, надо пройти больший кусок. Поэтому времена, которые им потребуются, пропорциональны квадратам скоростей. Но времена после встречи — “4” и “9 часов”, и теперь уже легко найти ответ.

— Дадим лишь конечную цифру, хорошо?

— Восход был в шесть часов.

— Значит, этот “восход” и завлек вас в математику?

— Хорошие учителя были в школе, увлеченные и прекрасно подготовленные. Потом был математический кружок, олимпиады. На них читали лекции профессора. Еще до поступления в МГУ я уже знал, кто был хорошим ученым и плохим преподавателем, а кто умело сочетал и то и другое.

Из лекции в Ватикане

Расцвет математики в уходящем столетии сменяется тенденцией подавления науки и научного образования обществом и правительствами большинства стран мира. Ситуация сходна с историей эллинистической культуры, разрушенной римлянами, которых интересовал лишь конечный результат, полезный для военного дела, мореплавания и архитектуры. Американизация общества в большинстве стран, которую мы наблюдаем, может привести к такому же уничтожению науки и культуры современного человечества.

Математика сейчас, как и два тысячелетия назад, — первый кандидат на уничтожение. Компьютерная революция позволяет заменить образованных рабов невежественными. Правительства всех стран начали исключать математические науки из программ средней школы.

— Что вы делали в Ватикане и как туда попали?

— В Ватикане есть Папская академия наук. Меня в нее пригласили... Я состою членом трех американских академий, французской и некоторых других, однако согласиться быть еще и членом Папской академии не мог.

— Но почему же?

— В Ватикане мне задали тот же вопрос. Я сказал, что Галилея они реабилитировали, и это я одобряю. Джордано Бруно сожгли, но до сих пор не реабилитировали, а он относится к тем ученым, которых я уважаю... Тем не менее меня пригласили принять участие в конференции. Один доклад на ней делал Папа Римский, другой — я. Конечно же, были прочитаны еще несколько десятков докладов. Это происходило в саду Ватикана, было очень красиво. Мы обсудили с Папой Римским ряд проблем, в том числе поговорили и о Джордано Бруно. Мне кажется, Папа Римский Иоанн Павел II — самый прогрессивный человек в Ватикане. Он читал лекцию о том, что наука и религия не должны ссориться, и это было весьма любопытно. Идея его выступления состояла в следующем. И наука и религия заинтересованы в открытии истины. Наука для этого располагает экспериментальной техникой. Религия же пользуется необычной технологией поиска истины, а потому не должна оспаривать те открытия, которые делает наука. У ученых больше средств, больше контроля, вот и пусть они находят истину, а религия будет с ними соглашаться. Это первое. Теперь — второе. Ученые сами не могут использовать свои открытия, в этом они совершенно беспомощны. Они создают атомные бомбы, придумывают звездные войны и т. п. Религия же может подсказать людям, как им правильнее использовать знания, полученные наукой... Папа Римский развивал эту идею долго, приводил множество примеров, доказывал, что между наукой и религией не должно возникать противоречий.

— Он не покаялся за сожжение Джордано Бруно?

— Он не мог этого сделать, так как тем самым начали бы разрушаться основы католицизма....

— Что вы имеете в виду?

— Почему Ватикан реабилитировал Галилея? Ведь его взгляды сейчас признаются церковью. У нас неточно излагают причины, по которым преследовался Галилей. Фраза “И все-таки она вертится!”, по-моему, выдумка средневекового журналиста. Признаю, придумано неплохо. На самом деле Галилей утверждал, что теория Коперника не противоречит Священному писанию. И в конце концов Ватикан с этим согласился. Именно поэтому все обвинения с Галилея и были сняты. Кстати, о теории Коперника...

— Вы увлекаетесь историей?

— Точнее — историей науки. Мне это интересно... Итак, откуда взялась теория Коперника? Оказывается, она была хорошо известна еще за две тысячи лет до его рождения. Египетские жрецы, создававшие в своих пирамидах всевозможные забавные устройства, уже прекрасно знали и в каком порядке идут планеты, и то, что они вращаются вокруг Солнца. В Древнем Риме, в храме Весты в 700 году до новой эры существовал планетарий, в центре которого помещался огонь, символизировавший Солнце, а вокруг него вручную переносили планеты. Египтянам была известна и теория Ньютона, это признавал и сам ученый. В его неопубликованных теологических и алхимических работах есть упоминание о том, что ему принадлежит восстановление египетских доказательств происхождения миров. У египтян была книга, где все было записано, но она погибла во время пожара Александрийского музея. Пришла демократия, и народ сжег многие тысячи томов научных книг, не понимая, что тем самым уничтожил знания древних.

— И потом пришлось все “переоткрывать”?

— Египетская наука была очень мощной. Там появились цифры, алфавит, геометрия, астрономия... Скажу, к примеру, что египтяне определили радиус земного шара, ошибка составила менее одного процента! Вся греческая наука — Евклид, Пифагор и другие — это лишь “слепок” науки Египта. Грек

Пифагор более десяти лет провел в Египте и всему там научился. В Египте жрецы всю науку засекретили, это было связано с пирамидами, с теологией. Пифагора же не сдерживали никакие обязательства, и, вернувшись в Грецию, он в своей школе сделал гласными открытия египтян. А его ученики приписали эти открытия ему... Далее — музыка. Гаммы, созвучия, октава — все это Орфей перенес в Грецию из Египта...

— И все-таки вернемся к Джордано Бруно?

— Пока я рассказывал о Галилее, о том, что имеет отношение к его реабилитации Ватиканом. Итак, наука подтвердила выводы Галилея, а следовательно, и религия вынуждена была с ними согласить ся. Однако современная наука до сих пор утверждает: то, что сказал Джордано Бруно, — гипотеза. Если бы наука подтвердила теорию Бруно, то Ватикан оправдал бы и его. По крайней мере, меня так заверили в Папской академии наук.

— В чем же суть его теории?

— Как известно, Бруно был монахом, священником. Даже после того, как его отлучили от церкви, он настаивал на своей теории, хотя обоснований у него не было. Это была теория множественности обитаемых миров. С него началась “эпоха инопланетян”, именно он утверждал, что они обязательно должны быть. А следовательно, могут прилетать на Землю. Он не отрекся от своих взглядов, заплатив за них жизнью. И тем самым вошел в историю не только науки, но и всей цивилизации.

— Вам в нынешней работе помогают экскурсы в историю?

— Мне помогают... Но есть математики, которые по поводу тех или иных исторических событий делают такие вздорные заявления, что о них и говорить-то стыдно! Один математик — академик — опубликовал теорию, по которой Куликова битва случилась где-то в районе Москвы! Стало очень модно применять математические методы в истории, но чаще всего это заканчивается печально... Нельзя к этому относиться с юмором, так как это крайне опасный вздор! У нас в Академии наук есть комиссия, которая занимается антинаукой, и ей приходится разоблачать подобные “исследования”. К сожалению, лженаука подчас приносит деньги, и она уже превращается в финансовое предприятие.

Из лекции в Ватикане

Учитывая взрывной характер всевозможных псевдонаук (вроде астрологии) во многих странах, в грядущем столетии вполне вероятно наступление новой эры обскурантизма, подобной средневековой. Нынешний расцвет науки может смениться необратимым спадом, подобным тому, который произошел с живописью в период после итальянского Возрождения.

— Чем вы объясняете, что в последнее десятилетие лженаука пошла в тотальное наступление на общество?

— Примерно в 1500 году при Иване III был такой епископ Геннадий. В то время уже устанавли вались контакты с Западной Европой, а потому в Россию пошло много ереси. И Геннадий написал Московскому митрополиту письмо, в котором сетовал на молодежь. В письме были такие строчки: “Иной и учится, но неусердно и потому живет долго”.

— Значит, неучи живут долго, и потому процветает современная ересь?

— Когда все разрешено, то на свет появляется и хорошее и плохое. Я против этого не выступаю — пусть плохое будет видно.

— Но если это касается математики, то вы протестуете, не так ли?

— У нас есть много учебников по математике, и некоторые из них хорошие. На мой взгляд, надо возвратить Киселева...

— Мы все учились по нему!

— К сожалению, сейчас наука нередко заменяется философской болтовней, и делают это те люди, которые ничего другого не умеют. Но они — на виду, к их мнению прислушиваются, что наносит непоправимый вред как науке в целом, так и математике в частности. Тем не менее у нас еще не все потеряно, у нас пока лучше, чем в той же Франции... Приведу еще пример. Недавно я получил письмо от одного математика. Он пишет, что некий профессор из Бостона прислал ему рекомендацию на аспиранта с очень лестной характеристикой. В ней говорится, что этот молодой человек лучше всех остальных аспирантов в Бостоне, и не удивительно — он учился в Москве! У нас есть у кого учиться и кого учить, и это очень важно сохранить. Верно, что молодые ученые стараются побыстрее уехать из России, чтобы на Западе лучше жить и лучше кормить своих детей. Нужно, конечно же, больше платить здесь, и тогда уезжать не будут. Однако до сих пор математическая культура в России очень высокая. Причем это настоящая культура, которая во Франции и Америке заменена абстрактным вздором...

— На вас там не обижаются, когда вы им говорите такое?

— Они вынуждены слушать, так как это правда... И что печально, их заблуждения достаточно глубоки, они уходят далеко в прошлое. Это еще одна из причин того, что мне приходится заниматься историей. Она помогает мне находить убедительные доказательства собственной правоты.

— Эта аксиома требует примеров.

— Извольте... По сути дела, вся французская наука началась с Рене Декарта. Он — в ее основе. И он же — причина ее гибели. Декарт провозгласил ряд принципов, которым и сегодня следуют ученые Франции. Первый принцип: “Не имеет никакого значения соответствие исходных положений науки с какой-либо реальностью”. То есть произвольное высказывание путем всевозможных преобразований превращается в новое высказывание. Вот и все! Когда Ньютон это прочитал, у него волосы встали дыбом. Он вскипел и заявил, что данный принцип губит всю физику... Второй принцип Декарта: “Столь же мало смысла имеет сравнивать с экспериментом выводы наших теорий”. Значит, никакого реального значения наши исследования не имеют... Третий принцип: “Чтобы математика стала наукой, надо прежде всего изгнать из нее чертежи”. Расшифровка этого принципа показывает, что надо избегать эксперимента и выключить из исследования воображение... Четвертый принцип: “Надлежит немедленно и навсегда исключить все методы обучения. Только мой метод является основательным, серьезным, научным, разрешенным. Преимущества моего метода состоят в том, что это единственный демократический метод. С его помощью любая посредственность получит такие же результаты, как и самый умный ученик”. Всего у Декарта было около двадцати принципов, я привел только четыре...

— Но его высказывания имеют чисто историческое значение?

— К сожалению, нет. Сегодня у Декарта множество последователей. Причем весьма воинственных. И говоря о невежестве, о лженауке, надо учитывать, что они развивались параллельно с наукой, а потому так легко носители антинауки находят “поддержку” в прошлом — в их работах вы найдете множество ссылок на разные авторитеты, в том числе и на тех великих ученых, о которых я говорил. Это не должно обманывать! Особенно активно ведется сегодня атака на математику, что, впрочем, естественно, так как она лежит в основе современной науки.

— И не только. В бизнесе очень много математиков, у вас есть этому объяснение?

— Математика подобна гимнастике, вырабатывает умственную способность, что необходимо и олигархам. Есть определенная корреляция между математиками и бизнесом, но, на мой взгляд, не она решает — есть люди, у которых особый талант к зарабатыванию денег. Но не нужно путать это с математикой в экономике. Был у нас знаменитый академик Леонид Витальевич Канторович, который получил Нобелевскую премию по экономике, хотя был великим математиком. Его теория сначала была признана на Западе и лишь потом пришла к нам.

— Вам никогда не хотелось заняться экономикой и бизнесом?

— Мне это резко противопоказано.

— Почему?

— Не очень это чистое дело — заниматься бизнесом в нашей стране. Да и не только у нас!

Из лекции в Ватикане

Затраты маркизы де Помпадур на науку и культуру составляли около полутора процентов ее затрат на наряды и косметику, и этого хватило для того, чтобы провозгласить век Просвещения, создать Энциклопедию и т. п. В России нет маркизы де Помпадур, и угроза наступления века невежества кажется совершенно реальной.

— Есть ли у вас работа, которой вы гордитесь?

— Нелегко отвечать на такой вопрос... Работ у меня около пятисот. Из них порядка ста, которыми я горжусь. Выделить одну трудно, пожалуй, даже невозможно...

— Говорят, что ХХI век будет веком вычислительных машин. Зачем же тогда нужны математики?

— ЭВМ — вещь замечательная, но эти машины абсолютно беспомощны!

— Чем объяснить, что во второй половине ХХ века в СССР появилось много хороших математиков, и это, на мой взгляд, позволило решить и атомную проблему, и выход в космос?

— Я размышлял об этом... Наверное, из-за того, что произошел “разрыв поколений”. Что я имею в виду? Многие ученые и преподаватели после революции уехали из страны, других расстреляли. Преподавать стали очень молодые люди. Они быстро впитывали знания, стремительно развивались. Старшее поколение не тормозило их, а это очень важно.

— Значит, молодежи нельзя мешать!? Как вам это удается?

— Я приведу пример моего спора с математиком Юрием Маниным. Он еще жил в Москве. Мне требовалась консультация по теории чисел, и я позвонил ему, мол, Юра нужны такие-то данные... Вдруг он мне отвечает, что уже три месяца, как бросил теорию чисел и занимается логикой, а потому ничего существен ного сказать мне не может. Тогда я попросил назвать кого-то из его учеников или аспирантов, кто бы ввел меня в курс дела. И Юра ответил: “Какой же ты наивный! Если я три месяца назад бросил теорию чисел, то разве кто-то из моих аспирантов теперь может ею интересоваться?!”. Да, я — наивный и остаюсь таким же, потому что суть научной школы как раз в ином!.. Только что вышла книга моих аспирантов. Она называется “Задачи Арнольда”. В ней около тысячи задач, которые я за сорок лет сформулировал для своего семинара. Среди них половина еще до сих пор не решена, а по тем, которые удалось решить, даны аннотации — где и какие работы опубликованы у нас и за границей. Мне приятно, что в названии книги есть моя фамилия, но на самом деле исследования ведут мои ученики.

— Как рождаются “задачи Арнольда”?

— У меня два семинара: один — в Москве, другой — в Париже. Семинар для студентов. Но в них участвуют и аспиранты и профессора. Обычно человек тридцать. Семинар существует сорок лет. Он идет непрерывно — приходят молодые, а совсем старые уходят... На заседании я формулирую десяток-другой задач. Это нерешенные проблемы, которые хотел бы решить. Потом на следующих занятиях участники семинара рассказывают о том, что они придумали. Размышления чаще всего записываются... Иногда проходят годы, прежде чем кто-то даст решение... На днях на заседании Московского математического общества я рассказывал о решении одной из таких задач, которое получили два моих ученика. Они были студентами, когда узнали об этой задаче, а решили ее, уже став аспирантами. Задача сформулирована восемь лет назад.

— Труднее придумать задачу или ее решить?

— Конечно, придумать! Есть 21 задача Гильберта, я работал над двумя — 13-й и

16-й... Есть теорема Ферма, над которой математики долго бились и даже признавали, что она нерешаема, но тем не менее недавно эта проблема таки была решена... По поводу данных задач есть высказывания крупнейшего математика ХIХ и ХХ веков Жюля Анри Пуанкаре: “Эти задачи выделяются из всех проблем, которые есть у нас в математике, тем, что их можно решить по принципу “да” или “нет”. Но самые интересные проблемы, к решению которых нужно идти постепенно — каждое решение становится частным по отношению к следующему...” Так что “придумать задачу” — это очень сложно... И вообще, совсем непросто определить, “хорошая” задача или “плохая”... Один из величайших математиков ХХ века Миша Громов, который долго был ленин-градским математиком, а теперь парижский, в одной из своих книг сформулировал так: “Есть только один способ узнать, хороша проблема или нет — ее просто надо решить!”.

— Так что в математике вопросы живут дольше?

— Из моих задач есть и такие, которые я сформулировал еще в студенческие годы, и они до сих пор не решены.

— Например?

— Недавно в научном американском журнале я видел статью, где воспроизводится попытка решить одну “задачу из фольклора” (там так и написано!). На самом деле это моя задача, сформулированная 50 лет назад, когда я был студентом на первом или втором курсе... У нас имеется лист бумаги, мы его

складываем — получается какой-то многоугольник. Складываем еще. Периметр нового многоугольника, получившегося после нескольких складываний, будет больше, чем периметр исходных. Да или нет?.. Решения пока нет.

— Вы довольны, что не удается решить эту проблему?

— Не знаю... Я бываю доволен, когда что-то удается понять.

— Иногда говорят, что математика — это искусство!?

— Абсолютно не согласен! Математика — это наука. Она была ею, есть и всегда будет! Так же, как я считаю, нет “теоретической” науки и “прикладной”. Я полностью согласен с великим Пастером, который сказал: “Прикладных наук никогда не было, нет и не будет, потому что есть наука и есть ее приложения”.

— Вы больше времени проводите в Париже или в Москве?

— Есть правило: по-моему, на один день больше я должен быть здесь.

— Вы не чувствуете себя эмигрантом?

— Вовсе нет! Кроме всего прочего, мои парижские студенты приезжают в Москву, а московские — в Париж.

— За чей счет?

— За счет Франции, которая финансирует этот проект.

— Вы считаете такую ситуацию нормальной?

— Для мировой науки такого рода отношения являются стандартными. Мои французские коллеги ведут аналогичную жизнь, половину своего времени они проводят в Германии, Америке, Англии. Во всем мире всегда так было. И в России до революции тоже. Да и после революции некоторые крупные ученые долго работали за границей. Повторяю, для науки и ученых — это нормальная жизнь, и иной она быть не может!

— Вернемся к школьному образованию. Если тенденция по выхолащиванию математики из учебного процесса у нас продолжится, чем это грозит России?

— Она превратится в Америку!

— Не говорите так, иначе у нас завтра математика в школе будет уничтожена полностью!

— Во Франции я читаю студентам такие же лекции, как и в Москве. Принимаю там экзамены. И вот во время письменного экзамена парижский студент спрашивает меня: “Профессор, я нахожусь в затруднении: скажите, четыре седьмых меньше или больше единицы?”. Это студент четвертого курса, математик! Он провел сложные вычисления, решил дифференциальное уравнение и получил верную цифру — четыре седьмых. Но дальнейшие его расчеты шли двумя путями в зависимости от того, больше или меньше единицы оказывается полученный результат. Все, чему я его учил — а это дифференциальные уравнения, интегралы и так далее, — он понял, но я его не учил дробям, и дробей он не знает... Аналогичная ситуация грозит и нам. А это приведет к тому, что не только атомоходы будут тонуть, но и все остальное, не только башня будет гореть, но и остальное тоже...

— И наконец, последнее: верно, что у математиков особый склад ума?

— Наверное... Но его можно воспитать практически у каждого человека. Только начинать надо рано. Именно поэтому нас, математиков, так беспокоит качество школьного образования. Математики в основном бывают двух типов — “левые” и “правые”. Сейчас это установлено с помощью достаточно тонких экспериментов, хотя психологи знают об этом уже добрые сто лет.

— Я надеюсь, что деление на “левых” и “правых” не связано с политическими пристрастиями?

— Два полушария мозга — левое и правое — анатомически различны и “заведуют” разными областями человеческой деятельности. Грубо говоря, одно полушарие скорее “логическое и алгебраическое”, а второе — “геометрическое”. Левое полушарие отвечает за последовательности, например, за умножение многозначных чисел, за логические, длинные рассуждения, а правое — за то, чтобы не заблудиться в лесу и в городе, оно также заведует эмоциями. Практически любую задачу можно решать и алгебраически и геометрически. Но, как правило, одни решают так, другие иначе. Есть математики, совершенно неспособные к “правополушарному”, “гуманитарному” мышлению, к образному восприятию действительности, они умеют только умножать. Марат, прежде чем его убила Шарлота Корде, успел произнести глупейшую фразу: “Из всех математиков самые лучшие те, кто все время решает задачи, вычисляя по заранее заданной формуле”. С современной точки зрения это делают только тупицы, однако фраза Марата весьма популярна среди тех, кто совершенно не способен размышлять, но тем не менее старается навязать обществу свое мнение.

— Такое впечатление, что вы постоянно спорите с кем-то?

— Так и есть! Я стараюсь объяснить, что суть математики совсем в ином, чем пытаются нам представить. Математика подобна деятельности детектива, который должен, задавая разные вопросы и обращая внимание на детали, путем нестандартных размышлений прийти к истине. Романы Агаты Кристи гораздо ближе к математике, чем умножение многозначных чисел. Ну а рассказы Эдгара По — тем более! Представления о математике в большинстве случаев фальшивые, неправильные. Но, к сожалению, все программы обучения составляют люди с подобными представлениями, поэтому я и стараюсь предотвратить катастрофу.

— Если бы не было математики, какую область науки вы выбрали бы для себя?

— Со мной происходят странные вещи. Есть такое понятие в науке — “ссылки на работы автора”. К моему удивлению, выяснилось, что на меня ссылаются очень многие исследователи, но не математики, а физики, астрономы, даже химики. Огромное количество моих работ “спровоцировано” исследованиями в физике, механике, гидродинамике, да и печатаюсь я часто в журналах, относящихся к другим областям науки. У меня есть работы, которые математики даже не понимают! Многие из них заняты в очень узкой области и ничего кругом не видят, это печально.

— А как определить, хороший это ученый или не очень?

— Нужно обратиться к опыту Леонардо да Винчи. Он писал, правда, о художниках, но это в равной мере относится и к науке. У Леонардо было двадцать учеников, и ему предстояло определить, кто из них станет хорошим художником, кто талантлив, на кого стоит тратить время... Леонардо говорил так: начинаешь их учить и видишь, что одному удается натюрморт, другому — пейзаж, третьему — перспектива и так далее. А вот шестой уступает в натюрморте первому, в пейзажах второму, в перспективе третьему... У него нет склонности к специализации, но зато он всем интересуется. Вот он-то и будет настоящим художником, заключает Леонардо да Винчи. Сам он интересовался многим. Следующая глава после размышлений о художниках посвящена у него... диверсантам-аквалангистам! И он подробно описывает, как подплыть к вражескому кораблю, продырявить его и ввести отравляющие вещества, но самому при этом не отравиться... А если враг тебя обнаружит, пишет Леонардо, то нужно повернуть рычажок и потопить акваланг, чтобы он не достался врагу и

тот не узнал бы секреты его устройства. Как видите, и в далеком прошлом забота о государстве была прежде всего.

— А математическое мышление изменилось?

— Отнюдь! Оно осталось таким же, каким было при Декарте, Пифагоре или в Древнем Египте. Однако одним наблюдением не могу не поделиться. Сейчас практически одновременно во всех странах идет грустный процесс, который выражается в плохом отношении к науке и культуре, в устранении их из жизни общества. Начинают торжествовать бюрократия и администрация, уничтожающие образование, науку и культуру целиком. Это самоубийство человечества! Озоновые дыры, загрязнение атмосферы, “парниковый эффект”, радиоактивное заражение и уничтожение культуры — единый процесс, который ведет к гибели жизни на Земле. Мы являемся свидетелями этого, наш долг предупредить о катастрофе и призвать людей остановиться, если еще возможно...

Из лекции в Ватикане

Тот факт, что мы все еще имеем активно работающих математиков, отчасти объясняется традиционным для российской интеллигенции идеализмом (с точки зрения большинства наших зарубежных коллег, просто глупостью), отчасти же — большой помощью, оказанной западным математическим сообществом.

Значение российской математической школы для мировой математики всегда определялось оригинальностью российских исследований и их независимостью от западной моды. Чувство, что занимаешься областью, которая станет модной лет через двадцать, чрезвычайно стимулирует. К сожалению, этот период теперь начал сокращаться, чему в немалой степени способствует и “утечка мозгов”.

Владимир ГУБАРЕВ.

Дополнение:

Речь академика В. И. Арнольда на парламентских слушаниях в Государственной думе

Страна без науки не имеет будущего, и принятие обсуждаемого плана было бы преступлением против России. Как это ни удивительно, уровень подготовки школьников в России до сих пор остается, особенно в области математики, очень высоким по сравнению с большинством стран мира (несмотря даже на ничтожность затрат нашей страны на науку и образование по сравнению с другими странами): Франция, например, перешла недавно от примерно 5% ВНП до примерно 7% (затраты на науку и образование, обсуждавшиеся Национальным комитетом науки и исследований Франции, членом которого меня назначило их Министерство образования и научных исследований).

Россия, напротив, сократила свои расходы (за 10 лет примерно в 10 раз) на науку. Трагическая утечка мозгов, происходящая вследствие этой ошибки, — только одно из последствий той антинаучной и антиинтеллектуальной политики, частью которой является и обсуждаемый безобразный проект «стандартов». Из-за этих «стандартных» нелепостей уровень подготовки школьников опустится гораздо ниже обычного уровня реальных училищ царского времени, а кое в чем — даже ниже уровня церковноприходских училищ.

Этот план производит общее впечатление плана подготовки рабов, обслуживающих сырьевой придаток господствующих хозяев: этих рабов учат разве что основам языка хозяев, чтобы они могли понимать приказы. Не случайно подготавливаемая реформа финансируется иностранцами, давно мечтавшими избавиться от конкуренции со стороны российской науки и техники.

Насколько я сумел понять планы, они сводятся в основном к снижению нашего уровня образования в средней школе до американских стандартов. Чтобы составить впечатление о последних, напомню только, что комитет по подготовке школьников штата Калифорния (возглавлявшийся Гленном Сиборгом, физико-химиком и нобелевским лауреатом, занимавшимся открытием новых трансурановых элементов) принял несколько лет назад решение требовать при поступлении в университеты штата следующего стандарта знаний по математике: школьники должны уметь делить 111 на 3 без компьютера.

Этот уровень требований оказался для американских школьников непосильным, и вашингтонские федеральные власти (по-моему, даже сенат) потребовали отменить эти «антиконституционные» и «расистские» стандарты. Один из сенаторов заявил, что он никогда не позволит, чтобы кто бы то ни было в какой бы то ни было части США учил кого-либо чему-либо, чего этот сенатор не понимает (например, делить 111 на 3).

Другой сенатор объяснил, что целью калифорнийских стандартов (требовавших, например, в курсе физики знакомства с тремя состояниями воды) является расистское препятствование поступлению в университеты черных, ибо «ни один из них никогда не поймет, что такое этот водяной пар, не имеющий ни цвета, ни запаха, ни вкуса». Впрочем, подобный довод не нов: третий президент США Т. Джефферсон опубликовал в 1781 году свое заключение, что «ни один негр никогда не поймет ни геометрию Евклида, ни кого-либо из его современных толкователей». А Джефферсон, отец-основатель и автор Декларации независимости, знал, о чем говорил: у него было несколько детей-негритят и он пытался их обучать.

По статистике Американского математического общества в сегодняшних Штатах разделить число 1 1/2 на число 1/4 может, в зависимости от штата, от одного до двух процентов школьных учителей математики. Из «стандартов» простые дроби давно у них исчезли, поскольку компьютеры считают только десятичные. Большинство американских университетских студентов складывают числители с числителями и знаменатели со знаменателями складываемых дробей: 1/2 + 1/3 есть, по их мнению, 2/5. Обучить после такого «образования» думать, доказывать, правильно рассуждать никого уже невозможно, население превращается в толпу, легко поддающуюся манипулированию со стороны ловких политиков без всякого понимания причин и следствий их действий.

Все это делается не по невежеству, а, как мне объяснили мои американские коллеги, сознательно, просто по экономическим причинам: приобретение населением культуры (например, склонности читать книги) плохо влияет на покупательную способность в их обществе потребителей, и вместо того, чтобы ежедневно покупать новые стиральные машины или автомобили, испорченные культурой граждане начинают интересоваться стихами или музыкой, картинами и теоремами и не приносят хозяевам общества ожидаемого дохода.

Вот к этому-то состоянию общества наши реформаторы и стремятся привести Россию, традиции которой совершенно противоположны. Наши школьники и сегодня хотят настоящих научных знаний, вечных истин, без понимания которых человек остается рабом. Но сверху на них сыплется антинаучная мракобесная болтовня вроде опубликованного в сентябре 2002 года «Независимой газетой» прославления «пирамид», заклеймившего Российскую академию наук как собрание ретроградов, ошибочно полагающих, будто наука способна объяснить мир.

Предлагаемый вздорный проект «стандартов» является очередной порцией подобной антинаучной болтовни. Я не стану здесь перечислять многочисленные детали недостатков математических стандартов: имеются протоколы их обсуждения в Центре непрерывного математического образования, где десятки преподавателей и учителей из разных областей России выразили свое возмущение предлагаемым проектом. Один из их главных выводов состоит в том, что стандарты должны заключаться не в философских фразах о том, что «математика является областью человеческой деятельности, применимой в полезных ее областях», а в списке простых, но необходимых задач, которые должны остаться легкими для школьников следующих поколений (вроде уменья вычесть семь из двадцати пяти).

Современные мировые тенденции американизации обучения постепенно разрушают эту древнюю культуру во всех странах. «Ретроградные» науки, утверждающие, что «столица Франции — Париж», заменяются «современными стандартами», согласно которым вместо этого школьников учат, будто «столица Америки — Нью-Йорк» (для слушающих меня парламентариев, возможно, уже достигших этого нового уровня мировой «культуры», поясню, что здесь все неверно: и Америка не государство, и Нью-Йорк не столица).

Но вот пример этой новой культуры: студент-математик четвертого курса одного из лучших парижских университетов спросил меня во время трехчасового письменного экзамена по теории динамических систем: «Помогите, пожалуйста: дробь четыре седьмых больше или меньше единицы? Я свел задачу о поведении системы к исследованию сходности интеграла, а это исследование — к асимптотике подинтегральной функции, и показатель степени этой асимптотики оказался 4/7, но ведь для окончательного вывода о сходимости интеграла нужно знать, больше ли это число чем 1. а вы компьютером на экзамене пользоваться не разрешаете, и я не могу решить задачу до конца».

Это был хороший студент, и он правильно решил трудные вопросы теории динамических систем, которой я его учил целый год, и дробь 4/7 он нашел правильно. Но простым дробям его учил не я, а «современные дидактики», извратившие элементарное обучение так, что все простые и полезные навыки вроде умения посчитать хотя бы на пальцах сумму 2 + 3 были утрачены.

Между прочим, французский министр образования сам возмущался неумением лучших школьников Парижа сложить 2 и 3 (по его словам, они отвечали: «Это будет 3+2, так как сложение коммутативно», а сосчитать ответ не могли). Вот к чему ведет американизация школьного образования и к чему склоняет российскую школу обсуждаемый проект.

Недавно руководство нашего Министерства образования опубликовало свой список задач для фиксации уровня экзаменационных требований. Эти задачи фиксировали крайне низкий уровень, а в новом проекте стандарта они не заменены лучшим новым списком. Пример «геометрической» задачи из этого списка: «У какого четырехугольника больше всего свойств?»

Проект предлагаемого «решения»; свойства параллелограмма занимают в учебнике столько-то строк, ромба — столько-то, прямоугольника — столько-то, трапеции — столько-то. Значит, наибольшее число свойств у квадрата.

Быть может, для адвокатов или законодателей такая псевдонаучная казуистика и полезна, но к геометрии и к математике вопрос этой задачи никакого отно шения не имеет.

При обсуждении проекта реформы с его создателями я обнаружил, что они хотят изгнать из школьной математики прежде всего логарифмы, считая, что «ни приведение к виду, удобному для логарифмирования, ни таблицы Брадиса в век компьютеров больше не нужны». Я пытался объяснить необходимость экспонент и логарифмов и в физике (где ими определяется и барометрическая формула падения давления воздуха с высотой, и законы квантовой и статистической механики), и в экологии (закон Мальтуса), и в экономике («сложные проценты» и «инфляция валюты», включая, например, подсчет сегодняшней стоимости царских долгов). Но выяснилось, что мои собеседники, экономисты, которым было поручено реформировать программы по математике, никакого представления об упомянутых мною законах экономики и фактах финансовой политики не имеют.

Из сказанного следует, что вся обсуждаемая дрограмма составлена людьми некомпетентными, а принятие этих «стандартов» нанесет серьезный и длительный вред делу образования в России. Стандарты по математике должны бы были обсуждаться, например. Математическим институтом РАН и без экспертного заключения Академии никак не должны приниматься. В обсуждении могло бы принять участие и Московское математическое общество (старейшее в мире, основанное еще во времена Н. Е. Жуковского). Необходима также экспертиза со стороны лучших учителей математики, хотя бы московских.

В современной Франции 20% новобранцев полностью неграмотны, не понимают письменных приказов начальства и способны поэтому направить свои ракеты не в ту сторону. Надеюсь, что попытки направить и Россию по этому пути уничтожения образования, наук и культуры, проявляющиеся в обсуждаемых «стандартах» безграмотности (не только в математике, но и во всех областях, включая, например, литературу, где стандарты предусматривают изучение Пушкина в объеме стихотворения «Памятник» — с возможным добавлением учителем двух или трех произведений по своему выбору), — все эти мракобесные мероприятия, я надеюсь, не будут поддержаны нашим законодательством. «

__________________________________________

http://www.mccme.ru/edu/index.php?ikey=viarn - Статьи академика В.И. Арнольда об образовании