Найти область сходимости степенного ряда

Добавлено: Пн Мар 23, 2009 5:57 pm

исследуем поведение ряда на правой границе интервала:
x=(корень из 3)/5

Подставим в ряд:
((беск) Е (n=1)) ((5^n*x^n)/((2n+1)^2*(корень 3^n))

Получим:
((беск) Е (n=1)) ((5^n*((корень из 3)/5)^n)/((2n+1)^2*(корень 3^n))=
=((беск) Е (n=1)) ((1^n)/((2n+1)^2))

Исследуем ряд ((беск) Е (n=1)) ((1^n)/((2n+1)^2)) на сходимость по признаку Лейбница:
((беск) Е (n=1)) ((1^n)/((2n+1)^2))=1/9-1/25+1/49-...

|1/9|>|-1/25|>|1/49|...>|(1^n)/((2n+1)^2))|>...

lim{n->беск} |1/((2n+1)^2)|=0 , отсюда следует ряд сходится по признаку Лейбница

Ответ: область сходимости степенного ряд x(-((корень из 3)/5); (корень из 3)/5).

Верно? Решение окончено?
Smile

Добавлено: Вт Мар 24, 2009 12:07 am

Нет!
((беск) Е (n=1)) ((1^n)/((2n+1)^2)) = ((беск) Е (n=1)) (1/((2n+1)^2)) где вы тут минус нашли? какой еще признак Лейбница?
этот ряд сходится по теореме сравнения 1/(2n+1)^2 < 1/n^2 для n>1.
Ответ: ряд сходится при xє[-((корень из 3)/5); (корень из 3)/5].

Добавлено: Вт Мар 24, 2009 9:42 am

Спасибо за помощь!!! Alexander
Very Happy