Решить задачи Коши

Добавлено: Вс Янв 10, 2010 4:31 pm

1) y'+y/x=((x+1)/x)e^x , y(1)=e

2) (2lny-ln^2y)dy=ydx-xdy , y(x=4)=e^2

3) 3xy'+5y=(4x-5)y^4 , y(1)=1

4) y''=18sin^3ycosy , y(1)=п/2 , y'(1)=3

Добавлено: Вс Янв 10, 2010 6:38 pm

BitterSweet писал(а):

1) y'+y/x=((x+1)/x)e^x , y(1)=e

$\begin{gathered} y' + \frac{y} {x} = \frac{{x + 1}} {x}{e^x},{\text{ }}y(1) = e. \hfill \\ y' + \frac{y} {x} = \frac{{x + 1}} {x}{e^x} \Leftrightarrow xy' + y = (x + 1){e^x} \Leftrightarrow {\left( {xy} \right)^\prime } = (x + 1){e^x} \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow xy = \int {(x + 1){e^x}dx} = x{e^x} + C \Leftrightarrow y = {e^x} + \frac{C} {x}. \hfill \\ y(1) = e + C = e \Leftrightarrow C = 0. \hfill \\ \boxed{y = {e^x}} \hfill \\ \end{gathered}$

Добавлено: Вс Янв 10, 2010 7:17 pm

BitterSweet писал(а):

2) (2lny-ln^2y)dy=ydx-xdy , y(x=4)=e^2

$\begin{gathered} \left( {2\ln y - {{\ln }^2}y} \right)dy = ydx - xdy,{\text{ }}y(4) = {e^2}. \hfill \\ \\ \left( {2\ln y - {{\ln }^2}y} \right)dy = ydx - xdy \Leftrightarrow yx' - x = 2\ln y - {\ln ^2}y \Leftrightarrow \hfill \\ \end{gathered}$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \frac{{yx' - x}} {{{y^2}}} = \frac{{2\ln y - {{\ln }^2}y}} {{{y^2}}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{x} {y}} \right)^\prime } = \frac{{2\ln y - {{\ln }^2}y}} {{{y^2}}} \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{x} {y} = \int {\frac{{2\ln y - {{\ln }^2}y}} {{{y^2}}}dy} = \frac{{{{\ln }^2}y - 2\ln y}} {y} + \int {\frac{{2 - 2\ln y}} {{{y^2}}}dy} = \hfill \\ = \frac{{{{\ln }^2}y - 2\ln y}} {y} + \frac{{2\ln y - 2}} {y} - 2\int {\frac{{dy}} {{{y^2}}}} = \frac{{{{\ln }^2}y}} {y} + C. \hfill \\ \frac{x} {y} = \frac{{{{\ln }^2}y}} {y} + C \Leftrightarrow x = {\ln ^2}y + Cy. \hfill \\ \end{gathered}$

$y(4) = e^2 \Rightarrow 4 = \ln^2e^2 + Ce^2 \Leftrightarrow C = 0.$

Ответ:

$\boxed{x = \ln^2y~\vee~y = e^{\sqrt x}}$

Добавлено: Вс Янв 10, 2010 7:27 pm

и откуда ты знаешь как это все решается)))))
точьно с тобой не расщитаюсь))))

Добавлено: Вс Янв 10, 2010 8:13 pm

BitterSweet писал(а):

3) 3xy'+5y=(4x-5)y^4, y(1)=1

$3xy' + 5y = \left( {4x - 5} \right){y^4},{\text{ }}y(1) = 1.$

$\begin{gathered} 3xy' + 5y = \left( {4x - 5} \right){y^4} \Leftrightarrow \frac{{3xy'}} {{{y^4}}} + \frac{5} {{{y^3}}} = 4x - 5 \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow - \frac{{3{x^{ - 5}}y'}} {{{y^4}}} - \frac{{5{x^{ - 6}}}} {{{y^3}}} = - 4{x^{ - 5}} + 5{x^{ - 6}} \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{1} {{{x^5}}}{\left( {\frac{1} {{{y^3}}}} \right)^\prime } + {\left( {\frac{1} {{{x^5}}}} \right)^\prime }\frac{1} {{{y^3}}} = - \frac{4} {{{x^5}}} + \frac{5} {{{x^6}}} \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{1} {{{x^5}{y^3}}}} \right)^\prime } = - \frac{4} {{{x^5}}} + \frac{5} {{{x^6}}} \Leftrightarrow \frac{1} {{{x^5}{y^3}}} = \frac{1} {{{x^4}}} - \frac{1} {{{x^5}}} + C \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{1} {{{y^3}}} = C{x^5} + x - 1 \Leftrightarrow y = \frac{1} {{\sqrt[3]{{C{x^5} + x - 1}}}}. \hfill \\ \end{gathered}$

$y(1) = \frac{1}{\sqrt[3]{C}} = 1\,\Leftrightarrow\,C = 1.$

Ответ:

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x^5+x-1}}$

Добавлено: Пт Мар 12, 2010 1:35 pm

помогите решить уравнение

Добавлено: Пт Мар 12, 2010 5:37 pm

Какое?