Сравнение признаком сходимости для положительных рядов

Добавлено: Ср Апр 28, 2010 12:05 pm

Доброго времени суток уважаемые форумчане. Я столкнулся с таким вопросом как сравнение и применение различных признаков сходимости для положительных рядов(в дальнейшем просто рядов ).
Все мы знаем, что в каких-то случаях для доказательства сходимости(расходимости) рядов мы применяем различные признаки, в зависимости от ситуации, если ряд легко сравнить с рядом, сходимость которого известа,мы применим признак сравнения, если в ряде степени, корни, експоненты - мы используем радикальный признак Коши, если встречаются факториалы - Даламбера. При этом мы знаем, что,к примеру, признак Раабе сильнее признака Даламбера, но зачемтогда признак Даламбера?
Вот в подобном анализе состоит моя задача. Нужно привести примеры рядов, сходимость(расходимость) которых доказывается исключительно каким то признаком,допустим есть ряд,его сходимость(расходимость) доказывается признаком Коши-Макларена,а остальные признаки не могут дать ответа о данном ряде.
Нужно найти(привести,придумать) такие примеры. Я не преподавательи не часто сталкивался с такими примерами, но это очень нужно и важно.
Помогите пожалуйста найти такие примеры.

Добавлено: Ср Апр 28, 2010 8:37 pm

$\sum^{\infty}_{n=1} \frac{(nx)^n}{n!} (x>0) D_n= x \cdot \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^n D= x \cdot e$

Если $x < \frac{1}{e}$ - ряд сх-ся

Если $x > \frac{1}{e}$ - то расходится

Если $x = \frac{1}{e}$ то признак Даламбера ничего не дает.

Нужно признаком Раабе, только вот я не могу спомощью Раабего взять...

Добавлено: Ср Апр 28, 2010 8:51 pm

Вот еще два примера: ряд 1/n и 1/n^2. Признак Даламбера ничего не дает, но первый ряд расходится, второй сходится. Думаю доказать вы это сможете.