Помогите взять двойной интеграл

Добавлено: Ср Июн 30, 2010 6:03 am

Если область D ограничена линиями y=x .y=-4x .y=-x+1

∫∫(y^2-x)dxdy

Добавлено: Вс Июл 04, 2010 9:10 am

А область указана правильно?

Добавлено: Вт Июл 20, 2010 10:22 pm

alyona писал(а):

Если область D ограничена линиями y=x .y=-4x .y=-x+1

∫∫(y^2-x)dxdy

Область (множество) D представляет собой треугольник. поэтому для вычислений надо разбить эту область на две области, т.е.

$D=D_1\cup{D_2},$ где

$D_1=\left\{(x,y)|\,-4x\leqslant{y}\leqslant1-x,-\frac{1}{3}\leqslant{x}\leqslant0\right\}$ и $D_2=\left\{(x,y)|\,x\leqslant{y}\leqslant1-x,0\leqslant{x}\leqslant\frac{1}{2}\right\}.$

Таким образом имеем:

$\begin{gathered}\iint\limits_D(y^2-x)dxdy=\iint\limits_{D_1}(y^2-x)dxdy+\iint\limits_{D_2}(y^2-x)dxdy=\hfill\\=\int\limits_{-1/3}^0{dx}\int\limits_{-4x}^{1-x}(y^2-x)dy+\int\limits_0^{1/2}{dx}\int\limits_x^{1-x}(y^2-x)dy=\hfill\\=\int\limits_{-1/3}^0\left.{\left(\frac{y^3}{3}-xy\right)}\right|_{y=-4x}^{y=1-x}dx+\int\limits_0^{1/2}\left.{\left(\frac{y^3}{3}-xy\right)}\right|_{y=x}^{y=1-x}dx=\hfill\\=\int\limits_{-1/3}^0\left(21x^3-2x^2-2x+\frac{1}{3}\right)dx-\int\limits_0^{1/2}\left(\frac{2}{3}x^3-3x^2+2x-\frac{1}{3}\right)dx\hfill\\\end{gathered}$

Дальше, надеюсь Very Happy

, сами справитесь.

Добавлено: Ср Июл 21, 2010 8:32 am

shum писал(а):

А область указана правильно?

Виноват. минус в третьем уравнении не разглядел....