Уравнение.. с ним сложно=)

Добавлено: Ср Ноя 24, 2010 6:21 pm

z^3=9 + 46i

Решить уравнение в области С,зная,что оно обладает корнем вида a+bi с целыми а и b.ответ запишите в алгебраической форме.

Добавлено: Ср Ноя 24, 2010 10:54 pm

В принципе, это уравнение можно решить не учитываая условия о целочисленности параметров а и b. Просто найти три значения кубического корня из 9+46i, и решение на этом закончится.

Можно пойти другим путем: обозначить искомое решение как z=a+bi, и, возведя в куб, учесть, что комплексные числа рввны лишь в том случае, когда равны их мнимые и действительные части.
$\left ( a+bi \right )^{3}=46+9i$

$a^{3}-3ab^{2}=9, 3a^{2}b-b^{3}=46$

Первое уравнение представим в виде $a\cdot \left ( a^{2}-3b^{2} \right )=9$
Параметр а найдем подбором: так как он целочисленный, то может принимать значения -9,-3,-1,1,3,9. Выбираем нужное значение исходя из требования целочисленности параметра b.

Потом нужно будет найти остальные решения. Можно каждое уравнение системы
$a^{3}-3ab^{2}=9, 3a^{2}b-b^{3}=46$
разделить на b^3, и ввести новую переменную u=a/b. Потом разделить первое уравнение на второе, и полученное после упрощений кубическое уравнение решить с учетом уже найденного ранее корня u.