Разлжение в степенной ряд

Добавлено: Пт Янв 06, 2012 6:21 pm

Здравствуйте. К сожалению, с высшей математикой знаком весьма поверхностно, но сейчас возникла необходимость решить пару задачек. Времени, чтобы досконально разбираться в вопросе, к сожаленю, тоже. нет Поэтому прошу помощи сведущих
Необходимо найти первые четыре (отличные от нуля) члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям:
y'=e^(sinx)+x
y(0)=0

Добавлено: Вс Янв 08, 2012 11:54 am

Находим производные
y''=cos(x)*e^(sin(x))+1
y'''=(cos(x))^2*e^(sin(x)) - sin(x)*e^(sin(x))
y''''=e^(sin(x))*((cos(x))^3 - cos(x) - 3cos(x)*sin(x) )
y'''''=e^(sin(x))*((cos(x))^4 - 6sin(x)(cos(x))^2-4(cos(x))^2+3(sin(x))^2+sin(x))
Находим значения этих производных при х=0:
y'(0)=1, y''(0)=2, y'''(0)=1, y''''(0)=0, y''''(0)=-3.
Запишем разложение:
y=y(0)+y'(0)x/1!+y''(0)x^2/2! + y'''(0)x^3/3! + y''''(0)x^4/4! + y'''''(0)x^5/5! + ... = x + x^2 + x^3/6 - x^5/40 + ...