помощь в решении (срочно)

Добавлено: Чт Июн 27, 2013 12:39 pm

найдите радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать поведение ряда на границах интервала сходимости
Σ(снизу над знаком n=0, сверху знак бесконечности) (n+1)/2[n](n[2]+1)*x[n]

число или буква в квадратных скобках "[]" это степень, то есть 2 в степени n, n в степени 2 и х в степени n

Добавлено: Пн Июл 01, 2013 8:53 pm

Имеем ряд $\sum_{\infty }^{n=0} \frac{n+1}{2^{n}(n^{2}+1)} x^{n}$
Радиус сходимости:
$R_{n} = \lim_{n\rightarrow \infty } \frac{a_{n}}{a_{n+1}} = \lim_{n\rightarrow \infty } \frac{(n+1)2^{n+1}((n+1)^{2}+1)}{2^{n}(n^{2}+1)(n+2)}=$
$=\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{2(n+1)(n^{2}+2n+2)}{(n^{2}+1)(n+2)}=2$

При $x=2$ получим ряд $\sum_{n=0 }^{\infty} \frac{n+1}{n^{2}+1}$ . С помощью предельного признака сравнения, сравнив с расходящимся гармоническим рядом, можем показать что он расходится.

При $x=-2$ получим ряд $\sum_{n=0 }^{\infty} (-1)^{n}\frac{n+1}{n^{2}+1}$ . По признаку Лейбница доказываем что он сходится.