геометрия

Добавлено: Сб Окт 10, 2009 6:52 pm

в правильной шестиугольной призме А...F1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB1 и BE1.

Добавлено: Вс Окт 11, 2009 7:54 am

1) Построим точку Н на прямой AF так, что F середина отрезка AH.

2) B1E1 параллельна ВЕ, ВЕ параллельна АЕ, тогда В1Е1 параллельна АН.

3) По свойству правильного шестиугольника В1Е1=21. АЕ=1, тогда АН=2*АЕ=2

4) В четырехугольнике АВ1Е1Н противолежащие стороны В1Е1 и АН параллельны и равны, следовательно АВ1Е1Н -параллелограмм. Тогда АВ1 параллельна НЕ1 и НЕ1=АВ1.

5) Угол между прямыми АВ1 и ВЕ1 равен углу между прямыми НЕ1 и ВЕ1, т.е. искомый угол равен углу ВЕ1Н треугольника ВНЕ.

6) Из треугольника АВН по теореме косинусов найдем ВН^2=AB^2+AH^2-2*AH*AH*cos(BAH)=1+4-2*2*1*cos60=3, тогда ВН=корень(3)

7) из треугольника АВВ1 по теореме пифагора АВ1=корень(AB^2+BB1^2)=корень (2). НЕ1=АВ1=корень(2).

8 ) Из треугольника ВЕЕ1 по теореме Пифагора ВЕ1= корень(ВЕ^2+ЕЕ1^2)=корень(5)

9) По следствию из теоремы косинусов соs(BE1H)=(BE1^2+E1H2-BH^2)/(2*BE1*E1H)=(5+2-3)/(2*корень(5)*корень(2))=корень(2/5).
Т.о. угол ВЕ1Н=arccos(корень(2/5)).

Ответ: arccos(корень(2/5)).