Задача №1211
Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.
Решение задачи №1211:
11211.[ Имеем a - 2, о - 1, a, a+1, a + 2 — пять последовательных натуральных чисел (a > 3); (a - 2)г + + (a — l)2 + a2 + (a + l)2 + (a -I- 2)2 — a2 — 4a + 4+ a2 — - 2a + 1 + a2 + a2 + 2a + 1 = a2 + 4a + 4 = 5a2 + 10;
1. Пусть a чётное, тогда a2 = 4n, где n — натуральное число. 5a2+ 10 = 20n+10 = 10-(2n + l) = 5(4n+2) = = 2-(10rt+5) — не может быть квадратом натурального числа, так как 10п + 5 всегда не чётное, значит при разложении числа 2 • (10п + 5); 2 встречается всего один раз.
2. Пусть а — не чётное, тогда a2 = 2п + 1, где п — некоторое натуральное число. 5а2 + 10 = 10п + + 15 = 5 • (2п + 3). Мы представили 5а2 + 10 в виде произведения двух натуральных чисел. Значит 2п + + 3 = 5, п = 1, 5а2 + 10 = 25; 5а2 = 15, а2 = 3. Натурального числа, квадрат которого равен 3 не существует, следовательно, если а — нечётное, то 5а2+10 нельзя представить в виде квадрата некоторого натурального числа.
Рассмотрены все случаи. Утверждение доказано.
Оцените это ГДЗ:
Рейтинг: 1.0/5 (Всего оценок: 1)
Выбор задания:
|
