Задача №733
Докажите, что произведение n(2n + 1)(7n + 1) делится на 6 при любом натуральном n.
Решение задачи №733:
[733J Докажем сначала делимость 2 произведения пх х (2п + 1)(7тг + 1). При п нечётном сумма 7n + 1 является чётным числом. При п чётном очевидно, что произведение кратно 2. Осталось доказать делимость на 3. Рассмотрим 3 случая:
1) п делится на 3, очевидно, что и произведение делится на 3.
2) п даёт остаток при делении на 3 равный 1. Значит число п можно представить в виде п = З9+1. Докажем что при таком значении п сумма 2п + 1 кратна 3. Так как 2 • (З9 + 1) + 1 = 69 + 2 + 1 = 69 + 3 = 3 • (2q + 1), значит и п ¦ (2п + l)(7n + 1) — кратно 3.
3) п даёт остаток при делении на 3 равный 2. Значит число п можно представить в виде п = 3q+2. Докажем что при таком значении п сумма 7n +1 кратна 3. Так как 7 (3
Оцените это ГДЗ:
Рейтинг: 1.0/5 (Всего оценок: 2)
Выбор задания:
|
