Прямоугольные и полярные координаты.
Середина отрезка, расстояние между точками, площадь треугольника.

Положение точек на плоскости или в пространстве определяется с помощью системы координат . В системе координат задаются правила однозначного сопоставления положения точки и некоторой совокупности чисел, которые называются координатами. Наиболее простой и часто используемой является прямоугольная система координат.        В прямоугольной системе координаты точки - это расстояния от точки до взаимно перпендикулярных координатных осей. Координатные оси в прямоугольной системе - это фиксированные прямые линии, которые пересекаются под прямым углом в некоторой точке, которая называется началом координат. На плоскости таким образом можно задать две координатные оси.        Точки на плоскости обозначаются обычно большой буквой с указанием координат. Например, точка с координатами обозначается . Начало координат часто обозначается буквой . Координаты этой точки - , поскольку расстояния от нее до координатных осей нулевые. Прямоугольную систему координат на плоскости обозначают часто . Координату называют абсциссой, координату - ординатой. Координатные оси обозначают и .        Если рассматриваются только точки, лежащие на одной прямой, то эту прямую можно считать координатной осью и рассматривать только одну координату, поскольку остальные равны нулю. Для определенности кооодинаты точек на одной прямой можно называть абсциссами, а прямую считать координатной осью абсцисс . Точки на одной прямой при этом можно обозначать с указанием одной координаты, например, . Расстояние между двумя точками и на прямой равно . Его можно обозначить .        Точки и на прямой определяют концы отрезка. Если , то это отрезок . Некоторая третья точка лежит на отрезке , если . Если эта точка не совпадает с концами отрезка, то она делит отрезок в отношении . При этом .         Из предыдущей формулы следует, что координата точки , делящей отрезок в заданном отношении есть .         Середина отрезка находится при и ее координата .         Если на плоскости задана прямоугольная система координат , то расстояние между любыми двумя точками и определяется по теореме Пифагора: . Отсюда, расстояние от произвольной точки до начала координат равно .         Координаты точки , которая делит отрезок прямой с концами и в заданном отношении , есть , . Координаты середины отрезка (при ) есть , .         Площадь треугольника с вершинами в точках , и равна .        В полярной системе координат фиксируются точка , являющаяся началом координат, и координатная ось - прямая, проходящая через это начало. Положение произвольной точки определяется длиной радиус-вектора , проведенного из начала координат в эту точку, и углом между координатной осью и отрезком . Угол считается положительным при отсчете против часовой стрелки.         Начало координат называется полюсом, координатная ось называется полярной осью, радиус-вектор называется полярным радиус-вектором точки , а угол - полярным углом.         В полярной системе координат произвольную точку можно обозначить как , где , . Эту же точку определяют бесконечное множество полярных координат и , .         Связь полярных координат с прямоугольными при условии, что у них общее начало и общая ось : , , , .         Уравнение линии на плоскости - это равенство, которое связывает координаты множества точек на этой линии. Уравнение становится тождеством при подстановке в него координат любой точки, лежащей на этой линии.         Уравнение линии на плоскости обычно имеет вид .         Параметрические уравнения линии есть представления координат и через вспомогательный параметр : , . Исключением параметра из этих уравнений можно получить обычное уравнение .