ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Признаки сходимости числовых рядов
Необходимый признак сходимости числового
ряда:
Если ряд
сходится, то
.
Данный
признак означает, что если
, то ряд расходится. Например,
расходится, так как
. Из выполнения условия
в общем случае не
следует сходимость ряда
. Например, для ряда
(гармонический ряд), условие
выполнено, но данный
ряд расходится.
Достаточные признаки сходимости
знакоположительных числовых рядов
Признаки сравнения
Если
, и ряд
сходится, то сходится
и ряд
.
Если
, и ряд
расходится, то
расходится и ряд
.
Признаки
сравнения можно сформулировать в такой форме:
Если заданы ряды
,
и существует
, то ряды
и
сходятся либо
расходятся одновременно.
Пример:
1.
Исследуем сходимость ряда
. Очевидно, что
. Так как гармонический ряд
расходится, то и ряд
также расходящийся, и,
согласно признаку сравнения, данный ряд
расходится.
2.
Исследовать сходимость ряда
. Имеем:
. Ряд
сходится как сумма
геометрической прогрессии со знаменателем
. Следовательно, согласно признаку сравнения ряд
сходится.
Признак Д’Аламбера
Если существует
то:
- при
ряд
сходится;
- при
ряд
расходится.
Радикальный признак Коши
Если существует
то:
- при
ряд
сходится;
- при
ряд
расходится.
Интегральный признак Коши
Пусть задан ряд
, члены которого являются значениями непрерывной,
положительной и монотонно убывающей функции
на промежутке
. Тогда ряд
сходится, если
сходится несобственный интеграл
. Если же
расходится, то ряд
также будет
расходящимся.
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
Признак Лейбница (достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов)
Ряд
сходится, если:
-
;
-
.
Знакопеременный
ряд
называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд
.
Если
ряд
сходится, а ряд
расходится, то ряд
называют сходящимся условно.
Очевидно,
что если ряд
сходится, то ряд
также сходится.
Обратное утверждение в общем случае неверно.