Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника (a) равен сумме квадратов двух других сторон треугольника (b и c), минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла (α) между ними.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опущена высота CD. Из треугольника ADC следует: Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC: Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) и: или

Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному. Выражения для сторон b и c:

Теорема синусов

Для произвольного треугольника где a, b, c — стороны треугольника, α, β, γ — соответственно противолежащие им углы, а R — радиус описанной около треугольника окружности.

Доказательство:

Достаточно доказать следущие положения: Проведем диаметр | BG | для описанной окружности. По свойству углов, вписанных в окружность, угол прямой и угол при вершине G треугольника равен либо α, если точки A и G лежат по одну сторону от прямой BC, либо π - α в противном случае. Поскольку sin(π - α) = sinα, в обоих случаях a = 2Rsinα. Повторив тоже рассуждение для двух других сторон треугольника получаем: