Помощь в математике. ГДЗ и решебники по математике для всех классов.

5 класс:

6 класс:

7 класс:

8 класс:

Таблицы:

Популярные разделы:

Полезные материалы:

Справочник -> Аналитическая геометрия на плоскости -> Прямая

Уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.
Угол между прямыми. Уравнения биссектрис

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид Ax+By+C=0,

где

- постоянные коэффициенты (не зависящие от координат). Коэффициенты

не должны равняться нулю одновременно, что можно записать условием A^2+B^2<>0

При

общее уравнение прямой можно разрешить относительно

и получить

Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y=kx+b

,

где

. Это уравнение с угловым коэффициентом, поскольку k=tg alpha

, а

- угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс

. Величина

равна ординате

точки пересечения прямой с осью

(прямой

При

общее уравнение прямой можно разделить на

и получить

Уравнение прямой в отрезках: x/a+y/b=1

,

где

. При этом x=a

при

при

, т.е. величины

это отрезки, которые отсекает прямая на соответственно координатных осях Ox и Oy, считая от начала координат. Полученное уравнение имеет назвние уравнение прямой в отрезках, а величины

- отрезки прямой на осях координат.

Если обе части общего уравнения прямой умножить на нормирующий множитель $mu={pm 1}/sqrt {A^2 + B^2}$ (выбрав знак

, если

и знак

, если

).

Тогда получим нормальное уравнение прямой: x cos varphi+y sin varphi-p=0

Здесь

равна длине перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а угол varphi

при этом есть угол между этим перпендикуляром и положительным направлением оси абсцисс.

Расстояние от заданной точки до прямой можно найти, используя геометрическую интерпретацию нормального уравнения прямой. А именно, если начало координат переместить в заданную точку

, то искомым расстоянием до прямой будет длина перпендикуляра из нового начала координат до прямой.

Расстояние от точки до прямой равно

$d=delim{|}{A x_0 +B y_0 +C}{|}/sqrt {A^2 + B^2}$

Острый угол между двумя прямыми, которые заданы уравнения с угловыми коэффициентами y=k_1 x +b_1

определяется из равенства

$tg alpha = delim{|}{{k_2 - k_1}/{1+k_1 k_2}}{|}$ .

При

прямые перпендикулярны, а при k_1 = k_2

прямые параллельны.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом , проходящая через заданную точку M(x_0; y_0)

имеет вид: y-y_0 =k (x-x_0)

.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M_1(x_1; y_1)

имеет вид: ${y-y_1}/{y_2-y_1}={x-x_1}/{x_2-x_1}$ .

Угловой коэффициент этой прямой $k={y_2-y_1}/{x_2-x_1}$ . Если x_1=x_2

, то прямая параллельна оси ординат, а ее уравнение x=x_1

. Если

, то прямая параллельна оси абсцисс и ее уравнение y=y_1

.

Координаты точки пересечения двух заданных прямых с уравнениями A_1 x + B_1 y + C_1=0

определяются из решения системы этих уравнений. Решение существует, если дискриминант системы отличен от нуля, или A_1 B_2 -B_1 A_2 <> 0

. Это условие также означает, что прямые не параллельны.
Другая прямая линия, проходящая через точку пересечения двух заданных прямых, описывается уравнением

A_1 x + B_1 y + C_1+lambda (A_2 x + B_2 y + C_2) = 0

где

- числовой параметр. Каждому значению lambda

соответствует своя прямая. Уравнение называется также уравнением пучка прямых, проходящих через точку пересечения двух заданных прямых.

Уравнения биссектрис углов между заданными прямыми A_1 x + B_1 y + C_1=0

имеют вид

${A_1 x + B_1 y +C_1}/sqrt {{A_1}^2 + {B_1}^2}pm{A_2 x + B_2 y +C_2}/sqrt {{A_2}^2 + {B_2}^2}=0$ .

Поставьте свою оценку:

Currently 2.38/5
1
2
3
4
5

Рейтинг: 2.4/5 (Всего оценок: 60)