Проверить удовлетворяет ли указанному условию данная функция

Добавлено: Вс Апр 05, 2009 1:33 pm

Проверить, удовлетворяет ли указанному условию данная функция Z(x,y):

9((d^(2)z)/(dx^2))+((d^(2)z)/(dy^2))=0, z=e^(x-3y)*sin(x+3y)

с чего начать? Sad

Добавлено: Пн Апр 06, 2009 9:00 pm

Найдите d^(2)z/dx^2 и d^(2)z/dy^2 - это вторые частные производные по х и по у соответственно.

Добавлено: Пт Апр 10, 2009 8:55 pm

Найдем d^(2)z/dx^2 - это вторая производная по Х.
Для этого найдем сначала первую производную по х:
z'=(1-3y)e^(x-3y)*sin(1+3y)
Теперь найдем вторую производную по х:
z''=(1-3y)(1-3y)e^(x-3y)=(1-6y-9y^2)e^(x-3y)=(9y^2-6y-1)e^(x-3y)
Отсюда следует:
d^(2)z/dx^2=(9y^2-6y-1)e^(x-3y)

верно нашла? Smile

Добавлено: Вс Апр 12, 2009 9:29 pm

Нет,
dz/dx = e^(x-3y)*sin(x+3y) + e^(x-3y)*cos(x+3y)

Добавлено: Чт Апр 16, 2009 11:34 am

Alexander писал(а):

Нет,
dz/dx = e^(x-3y)*sin(x+3y) + e^(x-3y)*cos(x+3y)

d^(2)z/dx^2=(e^(x-3y)*sin(x+3y)+e^(x-3y)*cos(x+3y))'=
=(e^(x-3y)*sin(x+3y))'+(e^(x-3y)*cos(x+3y))'=
=(e^(x-3y)*(sin(x+3y))'+sin(x+3y)*(e^(x-3y))')+(e^(x-3y)*(cos(x+3y))'+cos(x+3y)*(e^(x-3y))')=
=(e^(x-3y)*cos(x+3y)*(x+3y)'+sin(x+3y)*(x-3y)'*e^(x-3y))+(e^(x-3y)*(-sin(x+3y)*(x+3y)')+cos(x+3y)*(x-3y)'*e^(x-3y))=
=(e^(x-3y)*cos(x+3y)+sin(x+3y)*e^(x-3y))+(e^(x-3y)*(-sin(x+3y)+cos(x+3y)*e^(x-3y)=
=e^(x-3y)*cos(x+3y)+sin(x+3y)*e^(x-3y)-e^(x-3y)*sin(x+3y)+cos(x+3y)*e^(x-3y)

далее сократим: sin(x+3y)*e^(x-3y) и -e^(x-3y)*sin(x+3y).
получим: e^(x-3y)*cos(x+3y)+cos(x+3y)*e^(x-3y)

сведем подобные, получим: 2e^(x-3y)+2cos(x+3y)

правильно? Smile

Добавлено: Чт Апр 16, 2009 11:54 am

да, только e^(x-3y)*cos(x+3y)+cos(x+3y)*e^(x-3y)=2cos(x+3y)*e^(x-3y)

Добавлено: Чт Апр 16, 2009 1:27 pm

Alexander писал(а):

да, только e^(x-3y)*cos(x+3y)+cos(x+3y)*e^(x-3y)=2cos(x+3y)*e^(x-3y)

спасибо!

далее находим d^(2)z/dy^2:
для начало найдем dz/dy:
dz/dy=(e^(x-3y)*sin(x+3y))' по y=
=(e^(x-3y))'*sin(x+3y)+e^(x-3y)*(sin(x+3y))'=
=(x-3y)'*e^(x-3y)*sin(x+3y)+e^(x-3y)*cos(x+3y)*(x+3y)'=
=-3e^(x-3y)*sin(x+3y)+e^(x-3y)*cos(x+3y)*3=
=-3e^(x-3y)*sin(x+3y)+3cos(x+3y)*e^(x-3y)

верно? Very Happy

Добавлено: Чт Апр 16, 2009 1:32 pm

да

Добавлено: Чт Апр 16, 2009 1:34 pm

Alexander писал(а):

да

круто! спасибо! Razz

Добавлено: Чт Апр 16, 2009 2:13 pm

d^(2)z/dy^2=(-3e^(x-3y)*sin(x+3y)+3cos(x+3y)*e^(x-3y))' по y=
=(-3e^(x-3y)*sin(x+3y))'+(3*cos(x+3y)*e^(x-3y))'=
=(-3e^(x-3y)*(sin(x+3y))'+sin(x+3y)*(3e^(x-3y))')+(3cos(x+3y)*(e^(x-3y))'+e^(x-3y)*(3cos(x+3y))')=
=(-3e^(x-3y)*cos(x+3y)*(x+3y)'+sin(x+3y)*(x-3y)'*3e^(x-3y))+(3cos(x+3y)*(x-3y)'*e^(x-3y)+e^(x-3y)*(-3sin(x+3y)*(x+3y)')=
=(-3e^(x-3y)*cos(x+3y)*3+sin(x+3y)*(-3)*3e^(x-3y))+(3cos(x+3y)*(-3)*e^(x-3y)+e^(x-3y)*(-3sin(x+3y)*3)=
=(-9e^(x-3y)*cos(x+3y)-9e^(x-3y)*sin(x+3y))+(-9e^(x-3y)*cos(x+3y)-9e^(x-3y)*sin(x+3y))=
=-9e^(x-3y)*cos(x+3y)-9e^(x-3y)sin(x+3y)-9e^(x-3y)*cos(x+3y)-9e^(x-3y)*sin(x+3y)=
=-18e^(x-3y)*cos(x+3y)-18*e^(x-3y)*sin(x+3y)

я наверно где то ошибку допустила Confused

, не могу найти Crying or Very sad

теперь найденные производные подставляем в исходное уравнение?
получим:
9*(2cos(x+3y)*e^(x-3y))+(-18e^(x-3y)cos(x+3y)-18e^(x-3y)*sin(x+3y))=0
18cos(x+3y)*e^(x-3y)-18e^(x-3y)*cos(x+3y)-18e^(x-3y)*sin(x+3y)=0
-18e^(x-3y)*sin(x+3y)=0

получается что? что у меня данная функция не удовлетворяет указанному условию? может я где то ошибку допустила? проверьте пожалуйста... Crying or Very sad

Добавлено: Чт Апр 16, 2009 6:54 pm

почти,

должно выйти
d^(2)z/dy^2=-18*e^(x-3y)*cos(x+3y)

Добавлено: Пт Апр 17, 2009 6:59 pm

Nat111 писал(а):

d^(2)z/dy^2=(-3e^(x-3y)*sin(x+3y)+3cos(x+3y)*e^(x-3y))' по y=
=(-3e^(x-3y)*sin(x+3y))'+(3*cos(x+3y)*e^(x-3y))'=
=(-3e^(x-3y)*(sin(x+3y))'+sin(x+3y)*(3e^(x-3y))')+(3cos(x+3y)*(e^(x-3y))'+e^(x-3y)*(3cos(x+3y))')=
=(-3e^(x-3y)*cos(x+3y)*(x+3y)'+sin(x+3y)*(x-3y)'*3e^(x-3y))+(3cos(x+3y)*(x-3y)'*e^(x-3y)+e^(x-3y)*(-3sin(x+3y)*(x+3y)')=
=(-3e^(x-3y)*cos(x+3y)*3+sin(x+3y)*(-3)*3e^(x-3y))+(3cos(x+3y)*(-3)*e^(x-3y)+e^(x-3y)*(-3sin(x+3y)*3)=
=(-9e^(x-3y)*cos(x+3y)-9e^(x-3y)*sin(x+3y))-(9e^(x-3y)*cos(x+3y)-9e^(x-3y)*sin(x+3y))=
=-9e^(x-3y)*cos(x+3y)-9e^(x-3y)sin(x+3y)-9e^(x-3y)*cos(x+3y)+9e^(x-3y)*sin(x+3y)=
=-9e^(x-3y)*cos(x+3y)-9e^(x-3y)*cos(x+3y)=
=-18e^(x-3y)*cos(x+3y)

нашла ошибку Smile

теперь найденные производные подставляем в исходное уравнение,
получим:
9*(2cos(x+3y)*e^(x-3y))+(-18e^(x-3y)cos(x+3y)=0
18cos(x+3y)*e^(x-3y)-18e^(x-3y)*cos(x+3y)=0
0=0

ОТВЕТ: данная функция удовлетворяет указанному условию

верно?

СПАСИБО ОГРОМНОЕ ЗА ПОМОЩЬ!!! Smile

Добавлено: Сб Апр 18, 2009 8:56 pm