Найти наименьшее и наибольшее значение функции z=f(x,y)

Добавлено: Ср Апр 01, 2009 4:15 pm

Угловые точки: A(-1;0); B(-1;2); C(1;2); D(1;0).

Добавлено: Ср Апр 01, 2009 4:17 pm

наконец-то, продолжайте...

Добавлено: Ср Апр 01, 2009 4:29 pm

Мне это надо находить?
http://s56.radikal.ru/i153/0904/22/edc7c74c7c6f.jpg

Confused

Добавлено: Ср Апр 01, 2009 4:47 pm

да, найдите

Добавлено: Ср Апр 01, 2009 5:29 pm

получилось:
l1: -1<=x<=1, x=-1;
l2: 0<=y<=2, y=0;
l3: -1<=x<=1, x=1;
l4: 0<=y<=2, y=2.

верно? Confused

Добавлено: Чт Апр 02, 2009 12:43 pm

нет,
l1: -1<=x<=1, y=0;
l2: 0<=y<=2, x=-1;
l3: -1<=x<=1, y=2;
l4: 0<=y<=2, x=1.

Добавлено: Чт Апр 02, 2009 3:16 pm

Далее найдем стационарные точки внутри области D:
система из 2-ух уравнений:
1) z'по x=0 => 2x+2y=0 => 2x=-2y => x=2y/2 => x=y
2) z'по y=0 => 2x+4y=0 => 4y=-2x => y=-2x/4 => y=-x/2

вопрос: в первое уравнение какой у подставлять, а во второе уравнение какой х подставлять?
Confused

Добавлено: Вс Апр 05, 2009 12:41 pm

Решение этой системы 2x+2y=0, 2x+4y=0,
x=0 y=0. Это и будет первая стационарная точка M1(0;0).

Добавлено: Вс Апр 05, 2009 1:12 pm

Далее находим значение функции в т. М1(0;0).
Для этого в исходную функцию z=x^2+2xy+2y^2 подставим значение т. М1(0;0). Получим:
z=0^2+2*0*0+2*0^2=0

Теперь исследуем функцию на границах области:
а) l1: -1<=x<=1, y=0
Из этого следует, функция f1(x)=x^2
Найдем производную функции f1'(x)=2x
Затем решим уравнение f1'(x)=0 => 2x=0 => x=0
Следовательно получим точку F(0;0) принадлежит l1

б) l2: 0<=у<=2, х=-1
Из этого следует, функция f2(x)=1-2y+2y^2
Найдем производную функции f2'(x)=-2+4y
Затем решим уравнение f2'(x)=0 => -2+4y=0 => 4y=2 => y=2/4=1/2
Следовательно получим точку M2(-1;1/2) принадлежит l2 - вторая стационарная точка

в) l3: -1<=x<=1, y=2
Из этого следует, функция f3(x)=x^2+4х+8
Найдем производную функции f3'(x)=2x+4
Затем решим уравнение f3'(x)=0 => 2x+4=0 => 2x=-4 => х=-4/2=-2
Следовательно получим точку М3(-2;2) не принадлежит l3 и области D

г) l4: 0<=у<=2, х=1
Из этого следует, функция f4(x)=1+2у+2у^2
Найдем производную функции f4'(x)=2+4y
Затем решим уравнение f4'(x)=0 => 2+4y=0 => 4y=-2 => y=-2/4=-1/2
Следовательно получим точку М4(1;-1/2) не принадлежит l4 и области D

Вычислим 6 значений:
Точки найденные на границах области:
z(M1)=z(0;0)=x^2+2xy+2y^2=0
z(M2)=z(-1;1/2)=x^2+2xy+2y^2=-1^2+2*(-1)*1/2+2*(1/2)^2=1-1+1/2=1/2
Угловые точки:
z(A)=z(-1;0)=x^2+2xy+2y^2=-1^2+2*(-1)*0+2*0^2=1+0+0=1
z( В )=z(-1;2)=x^2+2xy+2y^2=-1^2+2*(-1)*2+2*2^2=1-4+8=5
z( С )=z(1;2)=x^2+2xy+2y^2=1^2+2*1*2+2*2^2=1+4+8=13
z(D)=z(1;0)=x^2+2xy+2y^2=1^2+2*1*0+2*0^2=1+0+0=1

Из полученных 6 значений выбираем наибольшее и наименьшее.

ОТВЕТ: m=min z=z(0;0)=0
M=max z=z(1;2)=13

правильно? Smile

Добавлено: Пн Апр 06, 2009 8:57 pm

Да, вроде всё правильно Smile

поздравляю!

Добавлено: Вт Апр 07, 2009 2:31 pm

Спасибо огромное за поздравления!!! И Вам спасибо ОГРОМНОЕ, БЕЗ ВАС БЫ Я НЕ СПРАВИЛАСЬ!!! Very Happy