Найти неопределенный интеграл: int (((x^5+x^4-8)/(x^3+4x))dx

Добавлено: Пн Апр 20, 2009 4:13 pm

Найти неопределенный интеграл:
int (((x^5+x^4-8 ) /(x^3+4x))dx)

Решение:
Выделим целую часть, разделив уголком числитель на знаменатель:
Деление многочленов:

(x^5+x^4-8 ) : (x^3+4x)= x^2+x-4
-
x^5+4x^3
-------------------
x^4-4x^3-8
-
x^4+4x^2
--------------------
-4x^3-4x^2-8
-
-4x^3-16x
--------------------
-4x^2+16x-8

1) Делим первый член x^5 делимого на первый член х^3 делителя; результат х^2 является первым членом частного.
2) Умножаем полученное выражение х^2 на делитель х^3+4х; записываем результат х^5+4х под делимым (один подобный член под другим).
3) Вычитаем почленно этот результат из делимого и сносим вниз следующий по порядку член делимого х^4; получаем остаток х^4-4х^3-8.
4) Делим первый член x^4 этого выражения на первый член х^3 делителя; результат х - это второй член частного.
5) Умножаем этот второй член частного х на делитель х^3+4х; и вновь записываем результат х^4+4х^2 под делимым (один подобный член под другим).
6) Вычитаем почленно полученный результат из предыдущего остатка и получаем второй остаток: -4х^3-4х^2-8.
7) Делим первый член -4x^3 этого выражения на первый член х^3 делителя; результат (-4) - это третий член частного.
8 ) Умножаем этот третий член частного (-4) на делитель х^3+4х; и вновь записываем результат -4х^3-16х под делимым (один подобный член под другим).
9) Вычитаем почленно полученный результат из предыдущего остатка и получаем третий остаток: -4х^2+16х-8. Его степень меньше степени делителя, поэтому деление заканчивается.

В результате получили частное x^2+x-4 и остаток -4x^2+16x-8.

Составляем интеграл:
int(((x^5+x^4-8 ) /(x^3+4x))dx)=
=int((x^2+x-4+((-4x^2+16x-8 ) /(x^3+4x))dx)=
=x^3/3+x^2/2+int(((-4x^2+16x-8 ) /(x^3+4x))dx)

верно? Smile

что дальше? Sad

Добавлено: Пн Апр 20, 2009 5:32 pm

верно

теперь разложите (-4x^2+16x- Cool

/(x^3+4x) на элементарные дроби.

Добавлено: Вт Апр 21, 2009 6:52 pm

Nat111 писал(а):

Составляем интеграл:
int(((x^5+x^4-8 ) /(x^3+4x))dx)=
=int((x^2+x-4+((-4x^2+16x-8 ) /(x^3+4x))dx)=
=x^3/3+x^2/2-4х+int(((-4x^2+16x-8 ) /(x^3+4x))dx)

выше черным я пропустила -4х Sad

Добавлено: Вт Апр 21, 2009 6:59 pm

Alexander писал(а):

верно

теперь разложите (-4x^2+16x- Cool

/(x^3+4x) на элементарные дроби.

разложим:
int((-4x(x+4)-8 ) /(x(x^2+4)))dx=
=-8arctg(x/2)-2log(x)+log(x^2+4)+c

верно? Smile

вообщем найденный интеграл равен
x^2+x-4+(-4x^2+16x-8 ) /(x^3+4x)=
=x^3/3+x^2/2-4x-8arctg(x/2)-2log(x)+log(x^2+4)+c

верно? Smile

Добавлено: Чт Апр 23, 2009 4:09 pm

int(((-4x^2+16x-8 ) /(x^3+4x))dx) не равен int((-4x(x+4)-8 ) /(x(x^2+4)))dx

(-4x^2+16x-8 )/(x^3+4x)=-2/x+(16-2x)/(x^2+4)
только покажите это