КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛЫ, ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА

Добавлено: Пн Окт 26, 2009 8:21 pm

Люди, помогите! Не могу построить график по выведенному каноническому уравнению гиперболы. Как это делается? Какой алгоритм потроения. Для чего в задаче необходимо находить координаты единичного и собственного вектора? Это имеет какое то отношение к построению графика?

Добавлено: Пн Окт 26, 2009 9:39 pm

Если уже известно каноническое уравнение гиперболы и нужно только построить ее график, то никакие вектора не нужно находить.
Можете например посмотреть http://www.pm298.ru/2step3.php
Или у вас немного другая задача...?

Добавлено: Пн Окт 26, 2009 10:22 pm

Дословно пишу задание, которое необходимо выполнить

Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Сделать чертеж.

6*х^2 + 4*кв. корень из 14 *х*y +5*y^2=26.

Алгоритм моих действий:
1. Составила характеристическое уравнение, нашла корни, которые получились 13; -2. Делаю вывод, что каноническое уравнение будет уравнением гиперболы, так как корни меют различные знаки
2. Нашла координаты собственных и единичных векторов.
3. А вот построить график Laughing

.... Это проблема

При решении данного задания я пользовалась электронным учебником, который скачала в интернете. Алгоритм решения такой же как я написала. Там же показан график, но не описан способ его построения. Так же на приведенном графике гипербола не является симметричной относительно оси ОХ или ОY, ее ветви расположены во 2 и 4 квадрантах декартовой системы координат. ...

И у меня возникает вопрос - как же все таки мне построить этот график? Где в моей гиперболе будут располагаться ветви?

Добавлено: Вт Окт 27, 2009 5:33 pm

Так понимаю вы получили такой канонический вид: 13x'^2-2y'^2=26
где координаты х, y и х', y' связаны Х=С*Х' (X, X' - вектор столбцы, а С - матрица составленная из собственных векторов).
Так вот матрица С и есть матрица поворота, ее вид
http://ru.wikipedia.org/wiki/Матрица_поворота
соответсвенно можно найти угол порота

Добавлено: Вт Окт 27, 2009 6:32 pm

Да, канонический вид у меня получился именно такой.

Собственные вектора:

u1 (1; (кв.корень из14)/4))
u2 (1; 4/(кв. корень из 14))

Добавлено: Вт Окт 27, 2009 6:44 pm

Нормализуйте эти вектора.

Добавлено: Вт Окт 27, 2009 6:51 pm

Что значит "нормализуйте"? Вычислить до конца, я правильно понимаю? Тогда они будут выглядить следующим образом:

u1 = (1; 0,94)
u2 = (1; 1,07)

Это от меня требуется?

Добавлено: Ср Окт 28, 2009 12:12 am

Нет, это значит преобразовать вектор в вектор в том же направлении, но с единичной длиной.
Собственные вектора u1 (1; (кв.корень из14)/4)) u2 (1; 4/(кв. корень из 14)) вы нашли не правильно, проверьте.
Для собственного числа -2, собственный вектор будет u1 = (- (кв.корень из14)/4 ; 1)
а для числа 13, вектор u2 = (2*(кв.корень из14)/7 ; 1)
|u1| = sqrt(14/16 + 1)=sqrt(15/8 )
|u2| = sqrt(4*14/49 + 1)=sqrt(105)/7
Тогда единичными собственными векторами будут
u1' = (- (кв.корень из14)/4|u1| ; 1/|u1|)
u2 = (2*(кв.корень из14)/7|u2| ; 1/|u2|)
Матрица поворота будет иметь вид
(- (кв.корень из14)/4|u1| ; 2*(кв.корень из14)/7|u2| )
(1/|u1| ; 1/|u2| )
тогда cos(alpha)= - (кв.корень из14)/4|u1|
sin(alpha)= 1/|u1|
находите угол альфа.
В итоге рисуете график гиперболы с центром в (0;0), повернутую на угол alpha

Добавлено: Ср Окт 28, 2009 12:19 am

Какое огромнейшее Вам спсибо. Скажите как Вас отблагодарить?

Добавлено: Ср Окт 28, 2009 12:49 am

Лучшая благодарность будет — увидеть что вы разобрались с этой задачей и чему-то научились Wink