Сложные задачи по геометрии, 8 класс

Добавлено: Пт Ноя 27, 2009 1:17 pm

Большая просьба помочь с решением двух задач:

1.)Стороны АВ и ВС прямоугольника АВСD соответственно равны 9 и 5.
Биссектриссы углов А и В пересекаются в точке К, а биссектрисы углов
С и D пересекаются в точке М. Найти длину отрезка КМ.

2.) В треугольнике АВС, в котором стороны AB и ВС не равны друг другу, проведены высоты АА1 и СС1. Точка К - середина стороны АС, угол А1КС1 равен 50 градусов. Найти угол В.

Буду очень благодарна за любую помощь в решении
Заранее спасибо.

Добавлено: Пт Ноя 27, 2009 4:54 pm

1.)Стороны АВ и ВС прямоугольника АВСD соответственно равны 9 и 5.
Биссектрисы углов А и В пересекаются в точке К, а биссектрисы углов
С и D пересекаются в точке М. Найти длину отрезка КМ.

Вообще у любого параллелограмма есть такое свойство: диагонали параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник, диагональ которого равна модулю разности его неравных сторон. Тогда КМ=9-5=4.

Если же такое свойство вам не известно, то проведите биссектрисы до пересечения с биссектрисами соседних углов и получите прямоугольник KLMN.

Треугольник BLC прямоугольный с острыми углами по 45 градусов тогда BLC- равнобедренный и BL=BC/корень из 2.

Треугольник BKA прямоугольный и равнобедренный, т.к. угол КВА и угол КАВ равны по 45 градусов. Тогда ВК=5/ корень из 2.

KL=BL-BK=4/корень из 2.

Аналогично доказывается, что LМ= 4/корень из 2, тогда По теореме Пифагора KM = 4.

Ответ: 4

Добавлено: Пт Ноя 27, 2009 5:28 pm

2.) В треугольнике АВС, в котором стороны AB и ВС не равны друг другу, проведены высоты АА1 и СС1. Точка К - середина стороны АС, угол А1КС1 равен 50 градусов. Найти угол В.

1. Проведем окружность с диаметром АС, тогда К - центр этой окружности, а точки А1 и С1 лежат на этой окружности, т.к. АС является гипотенузой для этих треугольников, а центр описанной окружности около прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы.

2. Треугольники АКС1 и СКА1 являются равнобедренными, тогда угол С1АК равный углу АС1К обозначим через х, а угол КСА1 равный КА1С обозначим у.

3. Сумма углов треугольника равна 180 градусам. Тогда
2х+угол АКС1+2у+угол СКА1=360 градусов, откуда
2(х+у)=360 градусов - (угол АКС1 + угол СКА1)

4. Сумму углов АКС1 и СКА1 найдем исходя из того что они вместе с углом С1КА1 образуют развернутый угол. Т.о. угол АКС1 + угол СКА1= 180 градусов - угол С1КА1=180-50=130.

5. т.о. х+у=1/2(360-130)=115 градусов. По теореме о сумме углов треугольника угол В треугольника АВС равен 180-(х+у)=65 градусов.

Ответ: 65 градусов.

Добавлено: Пт Ноя 27, 2009 7:00 pm

Огромнейшее спасибо вам, Alemand! Very Happy