делимость на7

Добавлено: Вс Янв 03, 2010 10:23 am

нужна помощь, пожалуйста!
про семизначное число известно, что оно делится на 7.
если в этом числе переставить местами первую и последнюю цифры, будет ли делиться на 7 полученное число? как доказать это?

Добавлено: Вс Янв 03, 2010 12:09 pm

для решения задачи составим разность этих двух чисел и покажем, что полученная разность делится на 7, а следовательно и преобразованное число делится на 7.

Решение:

Добавлено: Вс Янв 03, 2010 12:43 pm

999999 делим на калькуляторе ? Smile

Добавлено: Вс Янв 03, 2010 12:48 pm

Спасибо огромное.
А то я пытался доказать, расписывая на тысячи, сотни и десятки, пользуясь принципом делимости на 7 разности числа из трех последних цифр и числа из остальных цифр - получалось ну ооочень громоздко

Добавлено: Вс Янв 03, 2010 12:54 pm

В этом случае гораздо более удобен такой признак делимости:

Число делится на 7, если разность суммы чисел в тройках, стоящих на нечетных местах, и суммы чисел в тройках, стоящих на четных местах, делится на 7.

Число abcdefg делится на 7. Разобьем его на тройки: a_bcd_efg. Следовательно, число efg+a-bcd делится на 7. Учтем efg=ef0+g, поэтому efg+a-bcd=ef0+g+a-bcd.
Поменяв местами первую и последнюю цифры, получим: gbcdefa. Разобьем число на тройки: g_bcd_efa. Рассмотрим число efa+g-bcd. Так как efa=ef0+a, то efa+g-bcd=ef0+a+g-bcd=efg+a-bcd. Согласно предыдущим рассуждениям, число efg+a-bcd делится на 7. Значит, и число efa+g-bcd делится на 7. Отсюда следует, что gbcdefa делится на 7. Итак, при перестановке в семизначном числе первой и последней цифры, делимость на 7 останется.