Нахождение последних 4х цифр

Добавлено: Сб Май 22, 2010 4:44 am

Помогите пожалуйста решить вот такую задачку:

Дано выражение в десятичной системе счисления $3088^{1125}+1126^{3087}+33$ . Требуется найти последние 4 цифры получаемого числа в троичной системе счисления.

бьюсь уже месяц озарения не приходит)

Добавлено: Вс Май 23, 2010 3:23 pm

Для решения задачи необходимо найти остаток от деления данного числа на 81, тогда полученный остаток при переводе в троичную систему счисления и даст последние четыре цифры данного числа, ибо $81=10000_{3}$ .

Для определения остатка от деления данного числа на 81 воспользуемся, тем что остаток от деления степени числа на какое-либо число равен степени остатка от деления основания степени на это число к примеру $32^{7}$ делится на 27 с тем же остатком, что и $5^{7}$ .

Т.о. остатки при делении на 81 следующих чисел равны
$3088^{1125}+1126^{3087}+33$
$10^{1125}+73^{3087}+33$
$\left ( 10 \right ^{5})^{225}+\left ( 73 \right3 )^{1029}+33.$
$\left ( 100000 \right )^{225}+\left ( 389017 \right )^{1029}+33$
$46^{225}+55^{1029}+33$
$\left ( 46 \right^{5} )^{45}+\left (55^ 3 \right )^{343}+33$
$\left ( 205962976 \right )^{45}+\left ( 166375 \right )^{343}+33$
$64^{45}+1^{343}+33$
$2^{270}+34$
$\left (2 \right^{10} )^{27}+34$
$1024^{27}+34$
$52^{27}+34$
$\left ( 52 \right^{3} )^{9}$
$140608^{9}+34$
$73^{9}+34$
$\left (73^{3} \right )^{3}+34$
$389017^{3}+34$
$55^{3}+34$
$166375+34$
$13+34=47.$

Т.О. $47=1\cdot 3^{3}+2\cdot 3^{2}+0\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}=1202_{3}$

Ответ: 1202

p.S. в третьей строке 73 в третьей степени

Добавлено: Пн Май 24, 2010 3:48 am

Спасибо. Ты гений!. А то мне даже учителя говорили нельзя такое решить.

Добавлено: Пн Май 24, 2010 12:27 pm

Да, Alemand молодчина... и не такие задачки решает! Wink