Интеграл

Добавлено: Сб Окт 02, 2010 7:51 pm

Добрый день. Нужно вычислить интеграл

$\inline \int_{L}^{} .(5-3\overline{z})dz$ , где L - часть кривой $z=t^2 + it^4$ от точки А(2,4) до точки В(1,1).

$\int_{\gamma[a,b] }f(z)dz = \int_{a}^{b}f(\gamma(t))\gamma'(t)dt$ по определению.

$\gamma '(t)=z'(t)=2t + 4it^3$

$z = t^2 + it^4$ , $\overline{z} = t^2 - it^4$

т.е. надо вычислить интеграл

$\int_{a}^{b}(5 - 3(t^2 - it^4))(2t + 4it^3)dt = \int_{a}^{b}(-12t^7 - 6t^3 + 10t)dt + i\int_{a}^{b}(-6t^5 + 20t^3)dt$

Но как посчитать пределы интегрирования a и b, т.е. я знаю формулу кривой z(t) и координаты крайних точек кривой - A и B, но точки А и В - каждая имеют две координаты, а z(t) - функция одной переменной, и вообще правильно ли все делаю?

Добавлено: Вс Окт 03, 2010 3:29 pm

Всё верно вы делаете. У вас z=x+iy=t^2+it^4. Тогда в точке А(2,4) значение функции 2+i4=t^2+it^4 => t=sqrt(2), аналогично в точке В(1,1), 1+i=t^2+it^4 => t=1. Таким образом пределы интегрирования от sqrt(2) до 1.

Добавлено: Пн Окт 04, 2010 2:52 pm

Огромное спасибо.