Найти область сходимости степенного ряда

Добавлено: Вт Мар 17, 2009 7:55 pm

Найти область сходимости степенного ряда

((бесконеч) Е (n=1)) ((5^n*x^n)/((2n+1)^2*(корень 3^n))

подскажите пожалуйста ход решения. Confused

Добавлено: Ср Мар 18, 2009 10:28 am

Найдите для начала интервал сходимости применяя признак Коши из неравенства lim (n -> inf) abs(an)^1/n < 1

Добавлено: Ср Мар 18, 2009 5:02 pm

((бесконеч) Е (n=1)) ((5^n*x^n)/((2n+1)^2*(корень из 3^n))

Применим признак Коши

lim(n->беск) |n-ый корень из u по n| =
= lim(n->беск) |n-ый корень из ((5^n*x^n)/((2n+1)^2*(корень из 3^n))|=
= lim(n->беск) |(5x/((2n+1)^2*(корень из 3))|=
= ((5/(корень из 3))*x) lim(n->беск) (1/(2n+1)^2) =0 <1

Следовательно, R=беск. Откуда следует, ряд сходится абсолютно в каждой точке числовой прямой (-беск; +беск).

Надеюсь поймете мою рукопись Wink

правильно? Rolling Eyes

что дальше делать? Shocked

Добавлено: Чт Мар 19, 2009 12:41 am

Нет,
lim(n->беск) (n-ый корень из |un|) =
= lim(n->беск) (n-ый корень из ((5^n*x^n)/((2n+1)^2*(корень из 3^n)))= lim(n->беск) 5x/((2n+1)^(2/n)*(корень из 3))=5x/(корень из 3) < 1
из этого неравенства находите интервал сходимости, теперь осталось только исследовать сходимость ряда на границах интервала.

Добавлено: Пт Мар 20, 2009 3:38 pm

Из неравенства (5x/(корень из 3))<1 найдем интервал сходимости.

5x<(корень из 3)
радиус сходимости R=(корень из 3)

-(корень из 3)<5x<(корень из 3)
((корень из 3)/5)<x<-((корень из 3)/5)
интервал сходимости (((корень из 3)/5); -((корень из 3)/5))

ВЕРНО?
Razz

Добавлено: Пт Мар 20, 2009 3:54 pm

почти, всё напутали... Rolling Eyes

Радиус сходимости R=(корень из 3)/5
интервал сходимости (-((корень из 3)/5); ((корень из 3)/5))

Добавлено: Пт Мар 20, 2009 4:11 pm

Теперь исследуем поведение ряда на границах интервала сходимости:

ЛЕВАЯ ГРАНИЦА:
x=-((корень из 3)/5)
x=x1
x1=x0-R
x-x0=5x
x0=5x-x

5x=5x1=5*(-((корень из 3)/5))=-((5(корень из 3))/5)=-(корень из 3)
(5x)^n=-(корень из 3)^n=-(корень из 3^n)

((беск) Е (n=1)) ((-(корень из 3)^n)/((2n+1)^2*(корень из 3^n)))=
=((беск) Е (n=1)) (-(корень из 3^n)/((2n+1)^2*(корень из 3^n)))=
=((беск) Е (n=1)) ((-1)/((2n+1)^2))

ПРАВИЛЬНО? Confused

Добавлено: Пт Мар 20, 2009 4:24 pm

Просто подставьте в ряд ((бесконеч) Е (n=1)) ((5^n*x^n)/((2n+1)^2*(корень 3^n)) вместо х, (корень из 3)/5, получится ((беск) Е (n=1)) ((-1)^n/((2n+1)^2))

Добавлено: Пт Мар 20, 2009 4:25 pm

Спасибо, учту Very Happy

А что дальше делать? Confused

Добавлено: Пт Мар 20, 2009 4:32 pm

А почему 1 в стпепени n в числителе, а не просто 1? и подставляем же -(корень из 3)/5. Confused

Добавлено: Пт Мар 20, 2009 5:57 pm

там (-1)^n, а не 1^n. Ну а дальше исследовать этот ряд на сходимость

Добавлено: Пт Мар 20, 2009 6:18 pm

Alexander писал(а):

там (-1)^n, а не 1^n. Ну а дальше исследовать этот ряд на сходимость

по признаку Лейбница? Sad

Добавлено: Пт Мар 20, 2009 6:38 pm

конечно

вот зачем спрашивать каждый шаг?! знаете ведь что делать... решите, потом проверим Wink

Добавлено: Пт Мар 20, 2009 6:43 pm

вот

((беск) Е (n=1))=-1/9+1/25-1/49+...
|-1/9|>|1/25|>|1/49|...>|(-1^n)/(2n+1)^2|>...
lim(n->беск) |-1/(2n+1)^2|=0 отсюда следует, ряд сходится по признаку Лейбница.

дальше правда не знаю что делать Sad

Добавлено: Сб Мар 21, 2009 1:53 pm

теперь правую границу ((беск) Е (n=1)) (1/((2n+1)^2))